miejsce: sala 5840, czas: środy, 8:30 -- 10:00. Uwaga 1: to jest nowa sala
Uwaga 2: od 11.03 spotykamy się na kanale meet.google.com/wya-qbdk-vdw
18.03 Dokończenie dowodu zupełności metryki Hausdorffa. Definicja przestrzeni
\(BV(\Omega)\). Odręczne notatki do wykładu
oraz skan fragmentów książki [AFP].
Komentarze do notatek: lemat 6 to lemat 13 ze str 17 w [D];
w dalszym ciągu objaśniam dowód stw 6, str 244 w [D].
Przeskakuję do nowego tematu i definiuję przestrzeń BV funkcji o wahaniu ograniczonym.
25.03 Właściwości przestrzeni BV, przykłady; dolna półciągłość \( |Du|(\Omega)\).
Odręczne notatki do wykładu
oraz skan fragmentów książki [AFP].
Komentarze do notatek: Dodatkowym źródłem jest [R], jego wadą jest szczupłość dowodów.
Definicja i w wzór (3.2) z [AFP] nie tłumaczą nazwy przestrzeni, po to wykazuję stw. 3.6. z [AFP]
Zadanie 1. Załóżmy, że \(u\in BV(\Omega)\) i \([Du]_s =0 \). Wykazać, że
\(u\in W^{1,1}(\Omega)\).
01.04. Ciąg dalszy właściwości BV (przybliżanie f. gładkimi, tw. o zanurzaniu
i zwartości kuli). Warunki dostateczne dolnej półciągłości \(\mathcal{H}^d\).
Odręczne notatki do wykładu
oraz skan fragmentów książki [D].
Zadanie 2. Załóżmy, że \(u_k \rightharpoonup u\) w \(L^p,\ p\in (1,\infty)\).
Wykazać, że \(\liminf_{k\to \infty} \| u_k\|_{L^p} \ge \| u \|_{L^p}\).
08.04 Zgodnie z zarządzeniem dziekana tego dnia zajęcia odbywają się według planu piątkowego, a zatem spotykamy się po świętach.
15.04 Twierdzenie o dolnej półciągłości \(\mathcal{H}^d\). Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [D]
22.04 Wniosek z tw. o dolnej półciągłości \(\mathcal{H}^d\), tj. przypadek szczególny \(\mathcal{H}^1\). Wzór na całkowanie po włóknach. Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [EG]
29.04. Dokończenie dowodu wzoru na całkowanie po włóknach. Aproksymatywne
granice, ciągłość i skok funkcji. Dowód faktu, iż zbiory osobliwy i skoków są
borelowskie.
Odręczne notatki do wykładu
oraz skan fragmentów książki [AFP].
Zadanie 3. Załóżmy, że \(E \subset \mathbb{R}^N\) jest ograniczony i
ma obwód skończony. Kładziemy, \(u = \chi_E\). Wykazać, że \(J_u \subset E^{1/2}\),
gdzie \(E^{1/2}\) jest zbiorem punktów \(\mathbb{R}^N\), w których \(E\) ma gęstość 1/2.
06.05. Zofia Grochulska, różniczkowalność prawie wszędzie funkcji monotonicznych. Szczegóły rachunkowe przykładu (a) z poprzedniego wykładu. Zastosowanie metody bezpośredniej rachunku wariacyjnego do dowodu istnienia punktów minimalnych funkcjonału Mumforda-Shaha, Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [D].
13.05 Ciąg dalszy zastosowania metody bezpośredniej o dowodu istnienia punktów minimalnych funkcjonału Mumforda-Shaha, Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [D].
20.05 M.Fabisiak, rozwiązanie zadania 3. Zamknięcie wątku zastosowania metody bezpośredniej o dowodu istnienia punktów minimalnych funkcjonału Mumforda-Shaha i wskazanie brakujących elementów. Przestawienie elementów składowych dowodu \(J_u \subset J_f\) na podstawie twierdzenia 1 z [CCN]. Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [D].
27.05. Dowód \(J_u \subset J_f\) i przedstawienie elementów koniecznej teorii. Odręczne notatki do wykładu
03.06. Dowód stw. 31. Objaśnienia warunku (H) z wykładu z 20.05. Odręczne notatki do wykładu.
10.06 O zredukowanych punktach minimalnych funkcjonału \(E_{MS}\). Przykład \(f \neq 0\), ale takiego, że \( u=0\) jest punktem minimalnym \(E_{ROF}\). Podsumowanie kursu. Odręczne notatki do wykładu.