Teoria deformacji i przestrzeni moduli, semestr letni 2019/20

Teoria deformacji i przestrzeni moduli: wykład monograficzny

semestr letni 2019/20, poniedziałki 14:15 -- 17:45, 3230.

Egzamin

Egzamin (termin II) jest dostępny do pobrania tutaj

Egzamin odbędzie się w dniach 29-30 czerwca, zdalnie. Będzie się składać z 3-4 zadań domowych (identycznych z tymi na listach, nie wystąpią zadania nieomawiane na ćwiczeniach ani dodatkowe) oraz z 3 pytań dotyczących wykładu. Zadania pojawią się tutaj ok 8:00 w dniu 29 czerwca, spisane rozwiązania należy mi dostarczyć na maila do 21:00 do dnia 30 czerwca w formie zdjęć/spisanych plików PDF. Będę potwierdzać otrzymanie rozwiązań mailem. W trakcie egzaminu można korzystać ze wszelkich notatek, ale nie z filmów z wykładu, ani z internetu czy książek. W razie pytań piszcie!

Listy zadań domowych

Seria I, na poniedziałek 24.02.
Seria II, na poniedziałek 2.03.
Seria III, na poniedziałek 9.03. Część rozwiązania zadania 1.
Seria IV, na poniedziałek 16.03.
Seria V, na poniedziałek 23.03.
Seria VI, na poniedziałek 30.03. Dokończenie rozwiązania zadania 3.
Seria VII, na poniedziałek 6.04.
Seria VIII, na poniedziałek 20.04.
Seria IX, na poniedziałek 27.04.
Seria X, na poniedziałek 4.05.
Seria XI, na poniedziałek 11.05.
Seria XII, na poniedziałek 18.05.
Seria XIII, na poniedziałek 25.05.
Seria XIV, na poniedziałek 1.06.
Seria XV, na poniedziałek 8.06.

Lista wykładów

24.02. Wprowadzenie: sytuacja lokalna, globalna i klasyfikacja. Przykłady: algebry z bazą, PV. Przestrzenie styczne.
2.03. Snopy Zariskiego oraz obcięte snopy Zariskiego, otwarte immersje i pokrycia dla funktorów. Charakteryzacja funktorów reprezentowalnych jako snopów Zariskiego z pokryciem otwartym funktorami reprezentowalnymi przez afiniczne. [Głównie za Eisenbud-Harris]
9.03 (ostatni niezdalny). Płaskość algebraicznie, definicja i podstawowe własności. Lokalne kryterium płaskości (dla zainteresowanych: dowód) i wnioski. Płaskość geometrycznie, płaskość jest lokalna na dziedzinie i przeciwdziedzinie. Wielomian Hilberta - wprowadzenie.
16.03. Snopy koherentne na przestrzeni rzutowej a skończenie generowane moduły zgradowane na bazie. Płaskość snopów koherentnych na P^n_A nad A. (źródła: Vakil 14.5). Definicja schematu Hilberta; rozkład na podschematy otwarto-domknięte odpowiadające wielomianom Hilberta. Początek szkicu dowodu reprezentowalności.
Dodatkowe i nieobowiązkowe miejsca do czytania: "Fundamental Algebraic Geometry Explained, Part II, Nitsure" oraz "Strømme, Elementary introduction to representable functors and Hilbert schemes".
23.03. Szkic dowodu reprezentowalności schematu Hilberta. (lemat o rozsmarowywaniu jest tutaj)
30.03. Hom(X, Y) jako otwarty podschemat Hilb(X x Y), dowód jak X, Y rzutowych według FGA explained. Aut(X) dla X rzutowego reprezentowalne.
6.04. Przestrzenie stycznie do Grassmannianu, schematu Hilberta oraz schematu Hom (wedle FGA explained). Snopy: (ko)styczny i (ko)normalny. Snop styczny do Grassmannianu. Ciąg Eulera. (brak źródła, skompilowane z wielu miejsc. Snopy kostyczne i styczne oraz konormalne i normalne są np. w Vakilu)
13.04: NIE MA ZAJĘĆ. Poniedziałek wielkanocny!
20.04. Dokończenie: cofanie snopów Hom. Snop różniczek jest izomorficzny ze snopem konormalnym do diagonali. Gładkość nad ciałem i regularność. Równoważność nad ciałem algebraicznie domkniętym. Regularność charakteryzuje się przez podnoszenie morfizmów. Notatki o równoważności gładkości nad algebraicznie domkniętym ciałem i regularności, dla punktów domkniętych.
27.04. Ogólny obrazek teorii przeszkód. Funktory deformacji, małe rozszerzenia i "matka wszystkich teorii przeszkód". (tym razem dokładnie z "Fundamental Algebraic Geometry explained", rozdział "Elementary Deformation theory")
4.05 (za zgodą). Definicja teorii przeszkód. Przeszkody dla Hilb.
11.05. Dowód, że rozmaitości Fano są pokryte krzywymi wymiernymi, część pierwsza: rozdmuchania i krzywe wymierne, istnienie krzywej wymiernej przez x_0, jeśli schemat Hom(C, X, c0->x0) jest dodatnio-wymiarowy.
18.05. Dokończenie dowodu, że Fano są pokryte krzywymi wymiernymi. Teorie przeszkód dla Hom(C, X) gdzie X gładkie.
25.05. Dowód gładkości schematu Hilberta punktów na powierzchniach gładkich (dokończenie za tydzień), wedle FGA explained.
1.06. Dokończenie dowodu gładkości schematu Hilberta. Uwagi dotyczące przestrzeni moduli wiązek.
8.06. Informacje o stogu snopów lokalnie wolnych.

Podręczniki i źródła:

"Deformation Theory", R. Hartshorne,
"The geometry of schemes", D. Eisenbud, J. Harris,
"Deformations of Algebraic Schemes", E. Sernesi,
Fundamental Algebraic Geometry explained, Fantechi et.al.
Foundations of Algebraic Geometry, Vakil.

Ogólne zasady oceniania

Właściwą ocenę każdy ze studentów przeprowadza samodzielnie analizując swoje zrozumienie materiału. Jeśli ocena wypadnie niepomyślnie, należy skonsultować się z kolegami, ćwiczeniowcem lub mną. Formalna ocena jest przeprowadzana na koniec semestru. Dokładniejsze informacje o niej pojawią się tu później.