Teoria liczb, semestr letni 2023/23

Teoria liczb, semestr letni 2022/23

wykład: czwartek 14:15 — 15:45 (3150).

ćwiczenia: poniedziałek 12:15 — 13:45 (4050) oraz czwartek 16:15 — 17:45 (3150).

Podręczniki: Ireland, Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory, Białynicki-Birula, Skałba Lectures on number theory. Również warte przeczytania Steward, Tall Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem.

Lista wykładów

2.03. Przegląd problemów otwartych: hipoteza Goldbacha, zera funkcji zeta Riemanna, bliźniacze liczby pierwsze, Wielkie Twierdzenie Fermata. Kongruencje: definicje, chińskie twierdzenie o resztach, grupy multiplikatywne Z_n^*, grupa Z_{p^e}^* jest cykliczna. (patrz np. [Rozdział 2, Białynicki-Birula, Skałba] lub [Rozdział 3-4, Ireland-Rosen])
9.03. Równość (x+y)^p = x^p + y^p i jej konsekwencje, twierdzenie Lucasa. Postulat Bertranda z dowodem (patrz np. Dowody z Księgi lub wikipedia)
16.03. Funkcja zeta Riemanna. Zbieżność dla rzeczywistego argumentu większego niż 1, granica (s-1)zeta(s) w s=1, funkcja zeta(s) przedłuża się do s > 0. Informacje o argumentach zespolonych i holomorficzności. Wzór produktowy. Gęstość Dirichleta, gęstość wszystkich liczb pierwszych to jeden. Sformułowanie twierdzenia Dirichleta. (źródło: Ireland-Rosen, podrozdział 16.1 i stwierdzenie 16.5.1)
23.03 Dowód Eisensteina prawa wzajemności reszt kwadratowych Gaussa. Symbol Jacobiego i symbol Hilberta (źródło: Białynicki-Birula, Skałba, rozdział 6 i ćwiczenia.).

Zadania i rozwiązania

27.02 - 2.03. Zadania z poniedziałku i czwartku, oraz rozwiązania.
6-9.03. Zadania i rozwiązania.
13-16.03. Zadania i rozwiązania.
20-23.03. Zadania i rozwiązania.
27-30.03. Zadania.

Zadania domowe

Zadanie 1 na 30.03.

Ogólne zasady oceniania

Na zaliczenie ćwiczeń: zadania domowe pisemne, 11 serii po jednym zadaniu. Zadania będą ogłaszane tydzień wcześniej, pierwsza seria około trzeciego tygodnia zajęć.
Ocena końcowa na podstawie egzaminu. Egzamin pisemny będzie złożony zarówno z teorii (np. sformułuj twierdzenie XXX lub przedyskutuj co wiesz o XXX), jak i zadań. Zadania w większości będą tymi samymi, które pojawiły się na ćwiczeniach, pozostałe będą quasi-izomorficzne. W szczególności egzamin ma mierzyć Państwa wiedzę o tym, co się działo na przedmiocie, a nie np. umiejętności szybkiego zrobienia zadań.
Dla osób niezadowolonych ze swojej oceny na egzaminie pisemnym, możliwy jest egzamin ustny, zdalny, nastawiony bardziej na zrozumienie teorii.
Terminu zerowego zaliczenia nie przewiduję; w razie, gdyby ktoś chciał zaliczyć cały przedmiot wcześniej, jest to możliwe w formie egzaminu ustnego; jedyną oceną możliwą do zdobycia w takim zaliczeniu jest 5 i jej zdobycie jest istotnie trudniejsze niż w "zwykłym" terminie. Osoby zainteresowane proszę o informację.