Geometria algebraiczna

wykład z ćwiczeniami, semestr wiosenny/letni 2018/2019

Agnieszka Bodzenta-Skibińska, Jarosław Wiśniewski


powierzchnia Kummera
zrodlo: Wikipedia
 Terminy: wtorki, wykład 10:15-11:45, ćwiczenia 12:15-13:45, sala 4050.

Oficjalna strona przedmiotu w USOSie

Wstęp: Geometria algebraiczna to klasyczna dziedzina matematyki mająca związki z algebrą, teorią liczb, analizą zespoloną, topologią i matematyką dyskretną. Dynamiczny rozwój współczesnej geometrii algebraicznej związany jest z jej zastosowaniami w fizyce teoretycznej, biologii, kryptografii i inzynierii.

Wymagania: Przedmioty fundamentalne powiązane z wykładem, wymagane: Algebra przemienna, Metody algebraiczne geometrii i topologii, Geometria różniczkowa; zalecane: Algebra 2, Topologia 2, Funkcje analityczne. Inne przedmioty fakultatywne związane z wykładem: Topologia algebraiczna, Analiza zespolona, Geometria rózniczkowa 2, grupy i algebry Liego.

Podstawowe teksty
Tematy wykładów
  1. Nullstellensatz, rozmaitości afiniczne nad ciałem k, funkcje regularne, funkcje wymierne, kategoria rozmaitości afinicznych.
  2. Snop funkcji regularnych, prerozmaitości, rozmaitości rzutowe, pierścień współrzędnych jednorodnych rozmaitości rzutowej.
  3. Produkt w kategorii prerozmaitości, separowalność, rozmaitości. Odwzorowanie Segre.
  4. Wymiar rozmaitości. Odwzorowania algebraiczne i ich włókna, wymiar włókien. Rozdmuchanie.
  5. Zupełność, podstawowe własności, zupełność przestrzeni rzutowej.
  6. Wiązki wektorowe, ich cięcia i lokalnie wolne snopy O-modułów na rozmaitościach.
  7. Moduły nad pierścieniem funkcji regularnych rozmaitosci afinicznej i snopy modułów stowarzyszone z nimi.
  8. Snopy (quasi)koheretne O-modułów, charakteryzacja i konstrukcja. Moduły z gradacją i snopy koherentne na przestrzeni rzutowej.
  9. Przestrzeń styczna Zariskiego, różniczki Kaehlera, snop różniczek, rozmaitości regularne. Ciąg różniczek dla podrozmaitości, kryterium jakobianowe. Ciąg Eulera na przestrzeni rzutowej.
  10. Waluacje zwiazane z podrozmaitosciami kowymiaru 1. Dywizory Weila. Dywizory główne, grupa klas.
  11. Dywizory Cartier i snopy stowarzyszone z nimi. Grupa Picarda. Systemy liniowe i odwzorowania w przestrzeń rzutową.
  12. Kohomologie Cecha. Kohomologie snopów koherentnych można liczyć na pokryciu afinicznym.
  13. Kohomologie wiązek liniowych nad przestrzenia rzutowa, wzory Botta. Twierdzenia A i B Cartana-Serra, wiązki szerokie.
  14. Stopień dywizora na krzywej zupełnej, twierdzenie Riemanna-Rocha na krzywych dla wiązek liniowych, dualność Serre'a.
Zadania na ćwiczenia:
  1. na 26.02, funktory, kategorie; snopy.
  2. na 05.03, rozmaitości afininiczne.
  3. na 12.03, rozmaitości rzutowe.
  4. na 19.03, rozdmuchania.
  5. na 26.03, przecięcie krzywych na płaszczyźnie rzutowej.
  6. na 09.04, snopy quasikoherentne.
  7. na 16.04, wiązki i snopy lokalnie wolne.
  8. na 30.04, przeciaganie snopów, różniczki.
  9. na 07.05, dywizory, grupa klas.
  10. na 14.05, dywizory Cartier, nakrycia cykliczne.
  11. na 21.05, systemy liniowe na P^n, krzywe plaskie, plaskie kubiki
  12. na 11.06, kohomologie form różniczkowych, popychani i przeciąganie dywizrów.

Warunki zaliczenia ćwiczen, egzamin:

Odnosniki