f(x)=(x-a)+a
dla a=5^p dla p=10,...,30 - koniecznie liczac zgodnie z nawiasami jak napisano. Właściwy wykres to wykres f(x)=x ale dla dużych p będzie wykres stałej funkcji - najciekawsze to co pośrodku...f1(x)=(x-2)^4 i f2(x)=x^4-.....+16
na siatce równomiernej na [2-a,2+a] w wektorze x dla a=1e-1,1e-2,1e-3,1e-4. Narysować wykresy obu funkcji i policzyć błąd || f1(x)-f2(x) ||_\infty czyli \max_k |f1(x(k)-f2(x(k))| dla dostateczanej liczby dyskretnych punktów siatki równomiernejna odcinku.f(x)=x-\sqrt{1+x*x}
raz algorytmem wprost wynikajacym z tego wzoru a raz z wykorzystaniem równoważnego wzoruf(x)=-1/(x+\sqrt{1+x*x})
tzn. Algorytm 1: $a= \sqrt{1+x^2}; w_1=x-a.I_n=\int_0^1x^n/(5+x)d x
dla n=0,..,20 z wzoruI_n+5*I_{n-1}=1/n
raz biorąc I_0=\log(6/5) i iterując wprzód tzn dla rosnących n a raz biorąc I_{30}=1/180 i iterując w tył. Oczywiście dla n=30,29,..będzie kiepsko ale okaże się, że dla n bliskich 20 jest coraz lepiej - np. można sprawdzić czy przynajmniej obliczone przybliżenia całek spełniają:1/(6(n+1)) = \int_0^1 x^n/(1+5) dx <= I_n <=\int_0^1 x^n/(0+5) dx = 1/(5*(n+1))
a*r+Ax=b
A'*r=0
H_w x dla H_w=I-2*\frac{1}{nw}ww^T
czyli przekształcenia (macierzy) Householdera. (skalar może być parametrem opcjonalnym - jeśli funkcja będzie wywołana z dwoma tylko parametrami co można sprawdzić nargin < 3 to tę normę można obliczyć w tej funkcji). Przetestować dla losowych wektorów x i w , sprawdzić czy||H_w x ||_2=||x ||_2.
Można napisać ogólniejszą wersje gdzie x=X macierz N\times M i wtedy wynik H*X (jak to zrobić bez użycia pętli?). Sprawdzić czy||A||_2=||H*A||_2=||A*H||_2 i ||A||_F=||H*A||_2=||A*H||_F
dla losowej macierzy A i H przekształcenia Householdera dla losowego wektora w < >0 wykorzystując tę funkcję.y=Hx=x-(2/(w^T*w))*(w*w^T)*x
y=Hx=x-(2/(w^T*w))*w*(w^T*x) (tylko zmieniliśmy kolejność mnożenia)
x_{n+1}=x_n+\tau*r_n dla r_n=b-Ax_n z A=A^T>0
- ze znanymi wartościami własnymi npQ*Lam*Q^T
dla Q ortogonalnej i Lam diagonalnej z dodatnią diagonalą. Weź Lam=diag(10,9,..,1) i sprawdź czy metoda zbiega dla losowych \tau\in (0,2/10) - czy szybkosc najwieksza dla \tau^*=0.5(1+10)? Tzn dla znanego rozwiązania tzn b=As liczymy ||x_n-s||_2/||x_0-s||_2 za x_0 można wziąć wektor zerowy. Powtórz zadanie dla 10*I+A. Porównaj zmetodą Jakobiego x_{n+1}=x_n+D^{-1}r_n (D diagonala macierzy A) i Gaussa-Seidla x_{n+1}=x_n+(L+D)^{-1}r_n
(L dolnotrójkątna część A - bez diagonali czyli D+L - dolnotrójkątna część A) - ten wzó? oczywiście nie jest optymalny z pktu widzenia implementacji.x(k+1)=A(x(k))/||Ax(k)||_2.
Iloraz Rayleighar(k)=x(k)'*A*x(k).
Warunek stopy gdy różnica między kolejnymi ilorazami Rayleigha mniejsze od zadanej tolerancji np 1e-10. Argumenty: A macierz kwadratowa symetryczna, funkcja ma zwracać przybliżoną wartość własna (iloraz R.) i wektor własny dla niej.
rozwiązujemy
(A-mu*I)x(k+1)=x(k)
normujemy x(k+1)
A_0=A;
liczymy rozkład QR macierzy A_k (tzn Q_k ortogonalna R_k g-trójkątna : A_k= Q_k R_k)
liczymy A_{k+1}=R_kQ_k.