Pytania na egzamin licencjacki - matematyka

WSTĘP DO MATEMATYKI *

• Relacja (częściowego) porządku. Przykłady własności zbiorów liniowo uporządkowanych, których nie musi mieć każdy zbiór (częściowo) uporządkowany, i własności zbiorów dobrze uporządkowanych, których nie musi mieć każdy zbiór liniowo uporządkowany. Pojęcie izomorfizmu porządkowego. Lemat Kuratowskiego-Zorna, przykłady zastosowań.
• Równoliczność zbiorów. Co to znaczy, że moc zbioru A jest mniejsza od mocy zbioru B? Twierdzenie Cantora (moc zbioru X jest mniejsza od mocy zbioru potęgowego zbioru X). Twierdzenie Cantora-Bernsteina. Przykłady zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych. Czy każdy zbiór nieprzeliczalny jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych? Czy istnieje zbiór o największej mocy?
• Własności obrazu i przeciwobrazu zbioru względem funkcji. Zachowanie operacji obrazu i przeciwobrazu względem działań na zbiorach.Równoliczność obrazu zbioru A z odpowiednim zbiorem ilorazowym zbioru A.

ANALIZA MATEMATYCZNA

• Ciągi liczb rzeczywistych. Zbieżność ciągu, warunek Cauchy'ego, zupełność zbioru liczb rzeczywistych.
• Szeregi liczbowe, zbieżność bezwzględna i warunkowa. Przykłady kryteriów zbieżności i ich zastosowań.
• Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji i odwzorowań. Twierdzenie o osiąganiu kresów przez funkcję ciągła na przedziale domkniętym. Przykład funkcji ciągłej niejednostajnie ciągłej.
• Pochodna funkcji: - zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych; - odwzorowania z przestrzeni Rn o wartościach w Rm.
• Pochodne cząstkowe. Obliczanie pochodnych.
• Twierdzenia o wartości średniej rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej (twierdzenie Rolle'a i Lagrange'a). Przykład zastosowania.
• Szeregi potęgowe; przedział zbieżności, różniczkowanie i całkowanie szeregu potęgowego, przykłady.
• Ekstrema funkcji:  jednej zmiennej, wielu zmiennych. Warunki konieczne i dostateczne. Przykład wyznaczania ekstremum.
• Twierdzenie Banacha o punkcie stałym, twierdzenie o funkcji odwrotnej i twierdzenie o funkcji uwikłanej. Pojęcie rozmaitości różniczkowej.
• Całka funkcji jednej zmiennej. Całka nieoznaczona i oznaczona. Zasadnicze twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego. Obliczanie całek.
• Konstrukcja całki i miary Lebesgue’a oraz miary powierzchniowej. Przykład zbioru niemierzalnego w sensie Lebesgue’a
• Całki iterowane (twierdzenie Fubiniego). Przykłady obliczania całek iterowanych.
• Wzór na całkowanie przez podstawienie: - dla funkcji jednej zmiennej; - dla funkcji wielu zmiennych. Przykład zastosowania.
• Twierdzenie o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy w teorii całki Lebesgue'a. Przykład zastosowania.
• Przykład wzoru zamieniającego całkę po obszarze na płaszczyźnie na całkę po brzegu tego obszaru.*

GEOMETRIA Z ALGEBRĄ LINIOWĄ*

• Rozwiązywanie układów równań liniowych. Elementarne operacje na macierzach, metoda eliminacji Gaussa. Twierdzenia Kroneckera-Cappelli'ego i Cramera.
• Ciała: definicja, przykłady. Liczby zespolone: własności, postać trygonometryczna, pierwiastkowanie, zasadnicze twierdzenie algebry.
• Przestrzenie liniowe: definicja, przykłady. Układy liniowo niezależne, bazy, wymiar przestrzeni liniowej.
• Przekształcenia liniowe: definicja, przykłady, macierz przekształcenia liniowego. Monomorfizmy, epimorfizmy, izomorfizmy. Jądro i obraz przekształcenia liniowego.
• Przestrzenie własne i wartości własne endomorfizmów liniowych, sposoby ich znajdowania. Podobieństwo macierzy, diagonalizowalność, postać Jordana macierzy, twierdzenie Jordana.
• Rząd, wyznacznik i ślad macierzy. Sposoby obliczania. Przykłady zastosowań.
• Przestrzenie przekształceń liniowych. Funkcjonały liniowe, przestrzeń sprzężona do przestrzeni liniowej, baza sprzężona.
• Formy dwuliniowe i kwadratowe: definicje, przykłady, macierz formy dwuliniowej. Diagonalizacja form dwuliniowych i kwadratowych, twierdzenie o bezwładności.
• Iloczyny skalarne: definicja, przykłady, kryterium Sylvestera. Przestrzenie euklidesowe, miary, kąty. Izometrie.

ALGEBRA DLA MSEM**

• Relacje równoważności. Klasy abstrakcji, zbiór ilorazowy.
• Relacja porządku częściowego i liniowego, elementy maksymalne i największe.
• Porównywanie mocy zbiorów. Zbiory przeliczalne, nieprzeliczalne. Przeliczalność sumy i iloczynu kartezjańskiego zbiorów przeliczalnych. Nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie Cantora.
• Ciała: definicja, przykłady. Liczby zespolone: własności, postać trygonometryczna, pierwiastkowanie, zasadnicze twierdzenie algebry.
• Rozwiązywanie układów równań liniowych. Operacje elementarne na macierzach, metoda eliminacji Gaussa.
• Przestrzenie liniowe: definicja, przykłady. Układy liniowo niezależne, bazy, wymiar przestrzeni liniowej.
• Przekształcenia liniowe: definicja, przykłady, macierz przekształcenia liniowego. Monomorfizmy, epimorfizmy, izomorfizmy. Jądro i obraz przekształcenia liniowego.
• Rząd, wyznacznik i ślad macierzy. Sposoby obliczania. Przykłady zastosowań.
• Endomorfizmy przestrzeni liniowych. Macierz endomorfizmu w bazie, zależność od bazy, macierze podobne. Wektory i wartości własne endomorfizmów liniowych, sposoby ich znajdowania. Podobieństwo macierzy, diagonalizowalność, postać Jordana macierzy, twierdzenie Jordana.
• Formy dwuliniowe i kwadratowe: definicje, przykłady, macierz formy dwuliniowej.
• Iloczyny skalarne: definicja, przykłady, kryterium Sylvestera. Przestrzenie euklidesowe, miary, kąty. Izometrie.
• Grupa, grupa abelowa, podgrupa. Grupy permutacji. Warstwy grupy względem podgrupy, twierdzenie Lagrange'a. Homomorfizm grup, jądro homomorfizmu, dzielnik normalny, grupa ilorazowa, twierdzenie o homomorfizmie. Działanie grupy na zbiorze.
• Pierścienie przemienne z 1, homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Pierścień K[X] i ideały w nim.

WSTĘP DO INFORMATYKI

• Problem algorytmiczny i jego rozwiązanie. Przykłady.
• Funkcje i procedury rekurencyjne. Przykłady.
• Metoda programowania “dziel i rządź". Zastosowania.*
• Dynamiczne struktury danych: listy, stos, kolejki, drzewa binarnych poszukiwań.*
• Sposoby reprezentacji grafu, przeszukiwanie grafu wszerz i w głąb. Zastosowania.*
• Złożoność obliczeniowa algorytmu. Przykłady algorytmów o różnej złożoności obliczeniowej.*
• Hipoteza P=NP, sformułowanie, znaczenie i konsekwencje.*
• Reprezentacja i arytmetyka liczb rzeczywistych w komputerze.*

ALGEBRA*

• Podstawowe struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała i ich homomorfizmy. Przykłady : • grup – grupy permutacji, grupy izometrii, grupy macierzy; • pierścieni – pierścień wielomianów, pierścień szeregów formalnych, pierścień funkcji ciągłych; • ciał – ciała liczbowe, ciało funkcji wymiernych, ciała skończone.
• Konstrukcje ilorazowe na przykładzie grup i pierścieni. Przykłady: abelianizacja grupy, rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu.
• Związki pomiędzy rzędem grupy i rzędami podgrup, twierdzenia Lagrange’a, Cauchy’ego i Sylowa.
• Działania grupy na zbiorach - orbity, grupy izotropii, zbiór orbit. Przykłady: działanie grupy na zbiorze warstw względem podgrupy, działanie grupy na zbiorze swoich elementów przez automorfizmy wewnętrzne. Przykłady zastosowań.
• Iloczyn prosty grup, klasyfikacja skończonych grup abelowych.
• Własności elementów pierścienia: elementy odwracalne, dzielniki zera. Dziedziny całkowitości: elementy pierwsze i nierozkładalne. Dziedziny z jednoznacznością rozkładu i ich przykłady: pierścienie wielomianów, pierścień Gaussa.
• Rozszerzenia ciał: elementy algebraiczne i przestępne. Ciała algebraicznie domknięte, algebraiczne domknięcie.

TOPOLOGIA

• Pojęcie przestrzeni topologicznej. Topologia przestrzeni. Czy każda topologia pochodzi od jakiejś metryki? (wyjaśnij użyte pojęcia, podaj przykłady)
• Definicja ciągłości funkcji dla przestrzeni metrycznych i dla przestrzeni topologicznych. Równoważność tych definicji w przypadku przestrzeni metrycznych (z uzasadnieniem)
• Przestrzenie zwarte: definicja, przykłady. Metryczny warunek zwartości. Zwarte podzbiory przestrzeni Rn, funkcje ciągłe określone na przestrzeni zwartej.
• Przestrzenie metryczne zupełne: definicje, przykłady. Czy przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna, czy przestrzeń zupełna i ograniczona jest zwarta (dlaczego tak/nie)?
• Twierdzenie Baire'a. Dlaczego nie można opuścić żadnego z założeń tego twierdzenia?
• Spójność i łukowa spójność przestrzeni topologicznych. Czy któraś z tych własności implikuje drugą? (przykład na brak wynikania w którąś stronę, wyjaśnij użyte pojęcia, podaj przykłady).
• Homeomorficzność przestrzeni topologicznych, przykłady. Czy z istnienia ciągłej bijekcji f: X -> Y wynika istnienie homeomorfizmu? Czy takie wynikanie ma miejsce przy jakichś szczególnych założeniach o przestrzeniach?

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

• Istnienie i jednoznaczność rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego. Globalność rozwiązań.
• Rozwiązywanie równań o zmiennych rozdzielonych, a także jednorodnych i niejednorodnych metodą uzmienniania stałej.
• Układy równań liniowych o stałych współczynnikach. Równania wyższych rzędów o stałych współczynnikach.
• Stabilność i asymptotyczna stabilność rozwiązania stacjonarnego równań autonomicznych; w szczególności, dla układu liniowego.
• Całki pierwsze.
• Definicja potoku i orbity. Szkicowanie portretów fazowych autonomicznych układów liniowych o stałych współczynnikach w $R^2$.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

• Model doświadczenia losowego. Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. Paradoksy w teorii prawdopodobieństwa.
• Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa. Przykłady zastosowań obu wzorów.
• Niezależność zdarzeń i zmiennych losowych. Model probabilistyczny dla ciągu niezależnych doświadczeń. Schemat Bernoulliego i twierdzenie Poissona.
• Zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa. Dystrybuanty, gęstości. Typy rozkładów (dyskretne, ciągłe). Parametry rozkładów (wartość oczekiwana i wariancja). Nierówność Czebyszewa.
• Ważniejsze rozkłady prawdopodobieństwa (Bernoulliego, Poissona, wykładniczy, gaussowski). Przykłady zagadnień, w których pojawiają się poszczególne rozkłady.
• Suma niezależnych zmiennych losowych. Wyznaczanie jej rozkładu (gęstości, dystrybuanty) przy użyciu pojęcia splotu funkcji.
• Zbieżność zmiennych losowych określonych na wspólnej przestrzeni probabilistycznej: według prawdopodobieństwa, prawie na pewno i według p-tego momentu. Związki między tymi rodzajami zbieżności.
• Twierdzenia graniczne: prawa wielkich liczb, twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a jako szczególny przypadek centralnego twierdzenia granicznego. Przykłady zastosowań.

MATEMATYKA OBLICZENIOWA

• Numeryczne rozkłady macierzy: trójkątno-trójkątny (LU) i ortogonalno-trójkątny (QR). Zastosowania do rozwiązywania układów równań algebraicznych liniowych. Koszt, własności numeryczne.
• Normy wektorowe i macierzowe oraz ich własności. Wrażliwość numerycznych rozwiązań układu równań liniowych na zaburzenia danych.
• Interpolacja wielomianowa. Wzór na resztę interpolacyjną i jego zastosowania.
• Aproksymacja w przestrzeniach unitarnych oraz jednostajna.
• Kwadratury interpolacyjne i złożone dla numerycznego całkowania funkcji jednej zmiennej. Zbieżność kwadratur złożonych.
• Metody numerycznego rozwiązywania równań nieliniowych skalarnych. Szybkość i warunki zbieżności tych metod.

STATYSTYKA/STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

• Estymatory
• Przedziały ufności
• Testowanie hipotez statystycznych
• Model liniowy Gaussa

FUNKCJE ANALITYCZNE

• Różniczkowalność w sensie zespolonym i jej związek z równaniami Cauchy’ego-Riemanna. Co funkcje holomorficzne mają wspólnego z odwzorowaniami konforemnymi podzbiorów płaszczyzny zespolonej? Funkcje harmoniczne i ich związek z funkcjami holomorficznymi.
• Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej: funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne, gałęzie logarytmu i potęgi zespolonej. Ich podstawowe własności. Grupa homografii. Obrazy prostych i okręgów w przekształceniu homograficznym. Homografie jako przekształcenia sfery Riemanna.
• Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Cauchy’ego o całkach po krzywych homotopijnych. Wzór całkowy Cauchy’ego. Indeks krzywej zamkniętej na płaszczyźnie zespolonej względem punktu tej płaszczyzny - definicja i podstawowe własności.
• Różne charakteryzacje funkcji holomorficznych. Twierdzenie Morery. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych.
• Zasada maksimum. Twierdzenie Liouville’a. Zasadnicze Twierdzenie Algebry.
• Twierdzenie Laurenta. Osobliwości punktowe (izolowane) funkcji holomorficznych - ich klasyfikacja i podstawowe własności. Twierdzenie Riemanna o osobliwości pozornej. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania.
• Zera i bieguny funkcji meromorficznej. Ich związek z pochodną logarytmiczną funkcji - zasada argumentu. Twierdzenie Rouché’go.

* Nie dotyczy osób studiujących na specjalności MSEM 

**Dotyczy osób studiujących na specjalności MSEM