RRZ

Termin kolokwium 16 kwietnia 2020, 14-18, sala 3180
Cztery zadania po 10 punktów każde. Materiał:

Ta część jest przeterminowana ze względu na zamknięcie uczelni.
Badanie istnienia i jednoznaczności rozwiązań równań typu $y'=f(x)g(y)$. Na przykład: zbadaj czy rozwiązanie równania $y'=\frac{y^{2/3}}{1+x^2}$ z warunkiem początkowym $y(0)=-1/2$ jest jednoznaczne w przód.
Badanie uciekania do nieskończoności bądź zbiegania do jakiegoś punktu równań $y'=f(x,y)$, również w zależności od warunku początkowego.
Analiza własności równań niejednorodnych $y'=a(x)y+b(x)$, również opierająca się na postaci rozwiązania.
Obliczenia i oszacowania z wykorzystaniem nierówności Gronwalla.
Zadania z wykorzystywaniem wzoru na współrzędne biegunowe w przypadku równań postaci $\dot x=f(x,y),\ \dot y=g(x,y)$. Współrzędne biegunowe to $r=\sqrt{x^2+y^2}$ i $\phi=\atn\frac{y}{x}$. Spełniona jest zależność $\dot r=\frac1r(\dot xx+\dot yy)$, $\dot\phi=\frac{1}{r^2}(\dot yx-\dot xy)$.

Termin kolokwium 21 maja 2020, 14-18, sala 3180
Cztery zadania po 10 punktów każde. Materiał:

Ta część jest przeterminowana ze względu na zamknięcie uczelni.
Równania liniowe o stałych współczynnikach. Asymptotyka, na przykład: dane jest równanie $y'=Ay$ (macierz $A$ jest dana). Wyznacz zbiór warunków początkowych $B$ takich, że dla rozwiązania z warunkiem $y(0)=y_0\in B$ zachodzi $\lim_{x\to\infty} ||y(x)e^{-x}||=0$.
Równania liniowe wyższych rzędów postaci $\sum a_iy^{(i)}=0$.
Całki pierwsze.
Równania z parametrem (bardziej zaawansowane). Na przykład: rozpatrujemy równanie $y'=\mu x+y^2$ z warunkiem początkowym $y(0)=0$. Niech $y_1(x)$ będzie sumą zerowego i pierwszego wyrazu rozwinięcia $y$ w szereg potęgowy od $\mu$. Oszacuj różnicę $y-y_1$ (przez stałą) dla $x\in[-1/4,1/4]$, $\mu\in[-1/2,1/2]$.

Wersja z 11 maja

Podane są zadania do rozwiązania z terminem do 16. czerwca. W zadaniach mogą być jeszcze luki, do 18. maja można zgłaszać uwagi, że czegoś się nie rozumie.
Każde zadanie za 1 punkt, podzielony przez liczbę osób, które je poprawnie rozwiążą. Minimalna liczba punktów za zadanie wynosi 0.05 punkta, to znaczy, że jeśli zadanie odda 40 osób, to i tak każdy dostanie 0.05 punkta.
Liczba punktów jest przeliczana jako 100 razy punkty z zadań domowych plus punkty z ćwiczeń, przy czym w wypadku uzyskania mniej niż 5 punktów z ćwiczeń, albo więcej niż 18, ta liczba może być modyfikowana ($100\to 80$ gdy liczba punktów jest mniejsza niż 5 i $100\to 120$, jeśli liczba punktów jest 19 lub 20).
Ocena z części zadaniowej jest wypadkową liczby punktów. Orientacyjnie, na ocenę dostateczną wymagane będzie 50 punktów, ale na ocenę dobrą około 100 punktów.
Egzamin ustny jest obowiązkowy dla wszystkich i może zasadniczo zmienić ocenę. Jest on odpowiednikiem planowanej części teoretycznej.

Omówienie zadań

Pod linkiem można znaleźć omówienie zadań. Pełne wyniki będą w poniedziałek.

Procedury ogólnie

Osoby z oceną od 3 do 4.5 zdają egzamin u jednego z ćwiczeniowców wskazanego w mailu. Pozostałe bezpośrednio u wykładowcy.
Egzamin będzie odbywał się za pomocą Google Meet (ewentualnie Zooma). Stan prawny na dziś jest taki, że egzamin musi być nagrywany (wymóg ministerstwa).
Proszę, aby egzaminy zakończyły się do 10 lipca. W szczególnych przypadkach proszę o kontakt ze mną.
Egzamin ma odbywać się w zgodzie zasadami obowiązującymi na UW zgodnie z tymi wytycznymi.

Przebieg egzaminu

Poniższe informacje odnoszą się do osób które z części zadaniowych uzyskały inną ocenę niż 2 lub 5!. W przypadku tych osób, egzamin może przebiegać w nieco inny sposób.
Rozmowa o zadaniach. Egzaminujący mają dostęp do sprawdzonych rozwiązań zadań. Celem egzaminu jest sprawdzenie, czy piszący rozumie rozwiązanie zadania. Rozmowa o zadaniach dotyczy wyłącznie zadań, za które zdający dostał punkt. Jeśli zdający zdecydowanie nie rozumie trzech kolejnych zadań, które oddał, egzamin kończy się, a zdający dostaje drugą szansę jesienią.
Jeśli pierwsza część przeszła gładko, a zdający ma ocenę 3.5 lub lepszą, może zrezygnować z dalszej części egzaminu z oceną o 0.5 niższą, niż miał na egzaminie pisemnym. Jeśli się zdecyduje zdawać dalej, i tak nie dostanie oceny niższej niż ocena z egzaminu pomniejszona o 0.5.
W drugiej części można dostać do trzech pytań z teorii (w wyjątkowych wypadkach więcej). Poprawna odpowiedź z teorii skutkuje utrzymaniem oceny z egzaminu, bardzo dobra odpowiedź oznacza podwyższenie oceny z egzaminu pisemnego o pół stopnia.
W wyjątkowych wypadkach można podwyższyć ocenę o więcej niż pół stopnia, dzieje się tak wtedy, gdy zdający odpowie dobrze na trzy pytania z teorii. W naprawdę rzadkim przypadku, można podnieść ocenę o 1.5 stopnia.
Egzaminator podniesię ocenę do bardzo dobrej tylko w wypadku pełnej odpowiedzi na 3 pytania.
Uwaga Tryb egzaminu wymusza, aby zdający wykazywał zrozumienie treści, a nie umiał na pamięć dowody ,,do ostatniego epsilona''.

Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności. Obowiązuje znajomość dowodu twierdzenia Cauchy'ego--Picarda o istnieniu i jednoznaczności na ocenę dostateczną.
Twierdzenia o ciągłej zależności od warunku początkowego. Idea dowodu na ocenę 4.5 lub wyższą.
Przykłady równań o niejednoznacznym rozwiązaniu.
Metody rozwiązywania równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych. Analiza tych równań.
Rozwiązanie wysycone i jego istnienie. Definicja potoku rozwiązania.
Definicja eksponenty macierzy. Dowód poprawności definicji obowiązuje na ocenę 4.5 lub wyższą.
Układy równań liniowych o stałych współczynnikach i metody rozwiązywania.
Analiza jakościowa równań o stałych współczynnikach.
Równania wyższych rzędów o stałych współczynnikach.
Stabilność rozwiązań stacjonarnych. Twierdzenia Lapunowa i Czetajewa. Dowody tych twierdzeń na ocenę bardzo dobrą.
Sformułowanie twierdzenia Grobmana-Hartmana.
Całki pierwsze.
Dodatkowo, na ocenę bardzo dobrą, co najmniej jedno z zagadnień: komutator pól wektorowych, lemat Morse'a, równania Eulera--Lagrange'a, dowód twierdzenia Peano.

Ten przedmiot nazywa się Równania Różniczkowe Zwyczajne a nie Rozwiązywanie Równań Różniczkowych Zwyczajnych. Dlatego będzie położony nacisk na rozumienie równań a nie na opanowanie technik rozwiązywania. W szczególności
- Żadne zadanie na kolokwium ani na egzaminie nie będzie polegało na rozwiązaniu równania.
- Równania Bernoulliego, quasi-jednorodne itp. powinny być zrobione i wymagane wyłącznie na ćwiczeniach. Ich umiejętność nie będzie sprawdzana na egzaminie ani na kolokwiach.
- Równania liniowe wielu zmiennych, takie jak $y'=Ay+B(x)$ lub $\sum a_iy^{(i)}=f(x)$ powinny pojawić się raczej informacyjnie.
- Nie będzie wymagana umiejętność rozkładu Jordana macierzy większych niż 2x2 lub 3x3, w tym ostatnim przypadku wartości własnie powinny być całkowite lub sumą liczby całkowitej i liczby całkowitej pomnożonej przez $i$.
Duży nacisk będzie położony na zrozumienie dowodu twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności (przez zasadę kontrakcji Banacha). Z tego dowodu będziemy uzyskiwać twierdzenia o zależności rozwiązań od parametru jak i o regularności rozwiązań. Znajomość dowodu tego twierdzenia może być sprawdzona na egzaminie, czy to w teście, czy przez zadanie praktyczne oparte o ten dowód.
Rysowanie portretów fazowych w $R^2$ powinno być wyćwiczone. Na wykładzie pojawi się wyłącznie przykład $y''=-U'(y)$ (równanie z potencjałem). Nie będzie zadań bezpośrednio na rysowanie portretu fazowego, ze względu na trudność w obiektywnej ocenie. Niemniej, już na pierwszym kolokwium może pojawić się zadanie typu: dany jest układ $\dot x=x^2-y^2,\ \dot y=2xy$, wykaż, że trajektoria nie zawarta w zbiorze $\{y=0\}$ zbiega do $(0,0)$ w granicy $t\to\infty$.
Równania liniowe o stałych współczynnikach $\sum a_iy^{(i)}=0$ będą rozwiązywane metodą operatorową, być może również zostanie pokazana metoda Fourierowska jako komplementarna.
Planuję sporo prostych zadań nietypowych. Typu: czy zagadnienie $\{y''=-2y,\ y(0)=0,\ y(2\pi)=1\}$ ma rozwiązanie. Jest to zadanie sprawdzające rozumienie równań o stałych współczynnikach.
Równania liniowe $y'=Ay$ są pretekstem to wprowadzenia pojęcia e do operatora a nie na odwrót. W dobrych grupach można zrobić zadanie: co to jest $e^{td/dx}$ dla parametru $t\neq 0$. W bardzo dobrych grupach można dyskutować, na jakiej przestrzeni określony jest operator $e^{td/dx}$.
W czasie przedmiotu zastosowania (fizyczne, biologiczne czy geometryczne) mają służyć ilustracji wprowadzanych pojęć, a nie są celem samym w sobie.
Równania typu $y'=a(x)b(y)$ rozwiązuje się normalnie pisząc $\int \frac{1}{b(y)}dy=\int a(x)dx$. Na naszym wykładzie będziemy kłaść nacisk na to, że całka w tym wzorze może być całką oznaczoną. Ten wzór będzie mówił wtedy o czasie dojścia do punktu szczególnego, możliwości ucieczki do nieskończoności.

Uwaga! To jest ramowy program wykładu, który może ulec zmianie. Informacje o tym, co można robić na ćwiczeniach jest wskazówką dotyczącą korelacji z wykładu i w żaden sposób nie może być użyta do wymuszania czegokolwiek na prowadzących.

Uwagi wstępne, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności (sformułowanie). Równania postaci $y'=a(x)b(y)$. Początek dowodu tw. o istnieniu i jednoznaczności. zrobione, wykład 1.
Dokończenie dowodu twierdzenia o istnieniu. Twierdzenie o ciągłej zależności rozwiązań od parametru. Twierdzenie o rozwiązaniu wysyconym. Nierówność Gronwalla. Wykłady 2 i 3. Nierówność Gronwalla będzie 31.03
Twierdzenie o regularności rozwiązań i gładkiej zależności rozwiązań od parametru: dowód w przypadku $C^1$. Pojęcie potoku pola i portretu fazowego. Przykłady. Zrobione. Wykład 4, 4.5 i 5, gładka zależność będzie na wykładzie 5.5.
Całki pierwsze. Portrety fazowe równań postaci $x''=-U'(x)$. Wykład 5.
Twierdzenie Peano o istnieniu rozwiązania (z dowodem). Wykład 6.
Równania liniowe $y'=Ay$. Pojęcie $e^{tA}$ jako grupy rozwiązań. Związki z algebrą i ewentualnie z równaniami cząstkowymi. Obliczanie $e^A$ przez postać Jordana.
Lokalny portret fazowy równania liniowego. Klasyfikacja punktów osobliwych równań liniowych w $R^2$.
Równania postaci $\sum a_iy^{(i)}=0$. Metoda operatorowa rozwiązań. Przykłady.
Pojęcie stabilności i asymptotycznej stabilności rozwiązania. Twierdzenia Lapunowa i Czetajewa. Stabilność punktu krytycznego.
Linearyzacja równania w otoczeniu punktu osobliwego. Twierdzenie Hadamarda--Perrona (bez dowodu).
Równania Eulera--Lagrange'a. Przykłady.
Elementy geometrii różniczkowej: pola wektorowe, komutator, związki z formami różniczkowymi. Ewentualnie: pochodna Liego.

W tym czasie na ćwiczeniach można:

Od pierwszych zajęć:
- Analizować i rozwiązywać równania postaci $y'=a(x)b(y)$
- Wprowadzać i rozwiązywać równania liniowe jednorodne i niejednorodne (metoda uzmienniania stałej nie będzie wprowadzana na wykładzie.
- Rozwiązywać zadania geometryczne typu: znajdź krzywą, która jest prostopadła do każdej paraboli $y=ax^2$.
- Analizować jednoznaczność rozwiązania równania $y'=h(y)$, jeśli $h$ jest ciągła (uwaga: w tym szczególnym przypadku twierdzenie o funkcji odwrotnej z Analizy I daje lokalną jednoznaczność wszędzie tam, gdzie $h$ się nie zeruje.
Mniej więcej od trzecich zajęć:
- Rozwiązywać równania z parametrem od niskiego stopnia trudności. Moja ulubiona metoda dla równania postaci $y'=f(x,y,\mu)$ (kiedy rozwijamy wokół parametru $\mu=0$) polega na formalnym rozwinięciu w szereg potęgowy funkcji $y$: czyli $y=y_0+\mu y_1+\dots$ i wstawieniu do równania wyjściowego. Otrzymujemy pierwsze równanie $y_0'=f(x,y_0,0)$, następne równanie na $y_1$ i ewentualnie dalsze stopnie uzyskujemy rekurencyjnie. Wszystkie równania poza być może pierwszym są liniowe niejednorodne.
- Szkicować portrety fazowe równań na płaszczyźnie. Jak dla mnie, portret fazowy to "obrazek dający wyobrażenie o zachowaniu układu", dlatego nie chcę oceniać tej umiejętności na kolokwiach i egzaminach. Niemniej, zasadniczo na ćwiczeniach dopuszczam wszystkie chwyty, aby narysować poprawny portret. W tym: wprowadzenie linearyzacji wcześniej, bawić się w analizy typu tw. retraktowe czy nawet Poincare-Bendixsona, zależnie od inwencji prowadzącego i od jakości grupy.
- Szacować rozwiązania przez nierówność Gronwalla.
- Równania liniowe, w tym obliczanie $e^A$
- Analiza równań liniowych, badanie asymptotyki.
- Układy równań liniowych o stałych współczynnikach (prawdopodobnie 28.04)
Na wykładzie 12.05 opowiem o stabilności, 19.05 sformułuję tw. Hadamarda-Perrona.
- Stabilność
- Linearyzacja

Zbiór zadań Filipowa.
Piąty tom książki "Anty-Demidowicz" (dostępnej wyłącznie po rosyjsku) zawiera sporo rozwiązanych zadań z równań różniczkowych zwyczajnych. Ma mocno niepuste przecięcie ze zbiorkiem Filipowa.
Równania różniczkowe Arnolda są trudną książką do nauczenia się od podstaw, znakomicie uzupełniają wiedzę, gdy już się coś umie.
Garret Birkhoff, Gian-Carlo Rota "Ordinary differential equations" to książka standardowo używana do nauki. Dowód jednoznaczności rozwiązań jest inny niż ten, który podamy na wykładzie.
Skrypt F. Przytyckiego dostępny tutaj
Fajnie wygląda książka Schaeffer, Cain "Ordinary differential equation. Basics and beyond."
Wykłady Palczewskiego mają dowód twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności mocno zbliżony do tego, jaki będzie na wykładzie.

Równania Różniczkowe Zwyczajne

semestr letni 2019/20