Przestrzenie Sobolewa, semestr letni, 2019
Wykłady odbywają się w piątki, od 8:30 do 10:00, w oba dni w sali 3240.
Zasady zaliczania
- ocena z ćwiczeń, obejmująca m. in. zadania domowe i aktywność - maksymalnie 40% oceny
- Egzamin ustny i być może pisemny - 60% oceny
Notatki z wykładu
Materiał pierwszego wykładu, o przestrzeniach Lp, pokrywa się z pierwszymi dwoma wykładami z AMII.2 z gwiazdką.Drugi wykład, o przestrzeniach dualnych do Lp.
Trzeci wykład, o transformacie Fouriera.
Kawałek notatek, o splataniu dystrybucji i o dystrybucjach temperowanych.
Czwarty wykład: Przestrzenie Sobolewa - podstawowe definicje i własności.
Piąty wykład: Nierówność Poincaré.
Siódmy wykład: Nierówność Sobolewa, przypadek p=1 i p=n, nierówność Trudingera-Mosera i tw. Trudingera.
Ósmy wykład: Twierdzenia Campanato i Morreya. Nierówności Gagliardo-Nirenberga.
Ósmy wykład: Twierdzenia Steina o roszerzaniu, tw. Rellicha-Kondraszowa. Ułamkowe przestrzenie Sobolewa.
Dziewiąty wykład: Ślady, twierdzenie Sobolewa dla śladów..
Zagadnienia na egzamin ustny
Należy, oprócz ogólnej orientacji w temacie, wybrać sobie jeden z poniższych działów i nauczyć się go szczególnie starannie, ze szczegółami.- Teoria przestrzeni Lebesgue'a, przestrzenie dualne do Lp.
- Przestrzeń Schwartza, transformata Fouriera, teoria dystrybucji i dystrybucji temperowanych
- Przestrzenie Sobolewa i Beppo-Levi - definicje i różnice; formuła reprezentacyjna; podstawowe własności funkcji z przestrzeni Sobolewa.
- Różne warianty nierówności Poincare; własności potencjałów Riesza.
- Nierówność Sobolewa dla p
- Twierdzenie Campanato i Morreya (bez dowodu tw. Steina). Nierówności Gagliardo-Nirenberga.
- Nierówności Gagliardo-Nirenberga. Twierdzenie Steina o rozszerzaniu i Twierdzenie Rellicha-Kondraszowa.
- Ułamkowe przestrzenie Sobolewa - przestrzenie Gagliardo-Slobodeckiego-Aronszajna i przestrzenie potencjałowe Bessela.
- Twierdzenia o śladzie - twierdzenie Sobolewa dla śladów, przestrzenie ułamkowe jako przestrzenie śladów.