W roku akademickim 2009/2010 zajmujemy się przestrzeniami jednorodnymi. Najlepiej znane przestrzenie jednorodne to przestrzenie rzutowe, grassmanniany, przestrzenie flag.
W ogólnosci definiujemy przestrzeń jednorodną jako rozmaitość, na której działa przechodnio grupa Liego (czyli grupa topologiczna, która jednoczesnie jest rozmaitościa).
Na przyklad zespolony grassmannian Grass(k,n) parametryzujący k-wymiarowe podprzestrzenie liniowe w C^n jest jednorodny ze względu na działanie pełnej grupy liniowej GL_n(C). Można go tez utożsamić
z przestrzenią warstw grupy unitarnej: Grass(k,n)=U(n)/(U(k)xU(n-k)). Przy pewnych założeniach przestrzenie jednorodne są zwartymi zespolonymi rozmaitościami. Przy opisie tych przestrzeni pojawiają się ciekawe problemy kombinatoryczne. Grassmanniany mają rozkłady komórkowe indeksowane diagramami Younga. Opis przestrzeni jednorodnych jest związany z klasyfikacją grup Liego. Nieco szerszą klasą, która (jesli czas pozwoli) będziemy się zjmować, są rozmaitości sferyczne. Są to uogólnienia rozmaitości torycznych (którymi zajmowaliśmy się w roku akademickim 2008/2009). Na rozmaitościach sferycznych dzialają grupy algebraiczne, tym razem ze skonczoną iloscią orbit.
Podstawowe informacje o grassmannianach:
Niektóre ostatnie prace magisterskie (w nawiasie rok i opiekun):
Jan Rudnik Zastosowanie twierdzenia Duistermaata-Heckmana do obliczania objętości Grassmanninów (2008 AW)
Maria Donten Rozmaitości Kumera (2008 JW)
Katarzyna Macioszek Twierdzenie Botta i rozkłady przestrzeni pętli (2008 AW)
Sławomir Kolasiński CW-rozkład przestrzeni petli na grupach Lie (2007 AW)
Michał Adamaszek Przestrzenie odwzorowań wymiernych (2007 SJ)
Szymon Toruńczyk SO(2)-geometrie charakterystyczne na niskowymiarowych rozmaitościach (2006 Marcin Bobieński)
Marcin Szamotulski Rozkład Lefschetza w przestrzeniach włóknistych (2004 AW)
Więcej informacji m.in. o dotychczasowym programie seminarium, dawnych uczestnikach i pracach magisterskich znajdują się na stronach:
Jarek Wiśniewski,
e-mail: jarekw