Topologia Algebraiczna

• Miejsce i czas

• Prowadzacy i uczestnicy

• O topologii algebraicznej

• O seminarium

• Program w roku akad. 2001/02

• Propozycje na roku akad. 2002/03

• Literatura i dowiazania

• Archiwum

Miejsce i czas

Miejsce: Wydział MIM UW, ul.Banacha 2 (wejscie od ul. Pasteura), sala 3190
Czas: Poniedziałki, 10:15-12:00 w okresie odbywania sie zajec dydaktycznych
Propozycja terminu w roku akad. 2002/03: środy 16:15-18:00

Prowadzacy i uczestnicy

• Prowadzący:
  • Agnieszka Bojanowska e-mail: aboj@mimuw.edu.pl, tel. 5544580
    Konsultacje: wtorek 16:00-18:00 p. 5280
  • Stefan Jackowski e-mail: sjack@mimuw.edu.pl tel. 5544214
    Konsultacje: p. 2140, po umowieniu e-poczta lub telefonicznie.

• Uczestnicy (rok akad. 2001/02):
  • Konrad Bojar (V, mgr) Praca mgr: Orientacje wiazek wektorowych w K-teoriach.
  • Wojciech Hury (V, mgr) Praca mgr: Operacje kohomologiczne w singularnej ekwiwriantnej teorii kohomologii.
  • Witold Bednorz (V rok)
  • Weronika Krych (V, mgr, prof. UW J.Wiśniewski) Praca mgr: Rzutowe rozmaitości toryczne
  • Radosław Bojanowski (IV, mgr)
  • Jarosław Buczyński (IV, mgr, prof. UW J.Wiśniewski)
  • Paweł Witkowski (IV, mgr)
  • Olga Weber (IV, mgr)
  • Piotr Nowak (IV)
  • Szymon Siwek (IV)
  Uwaga: W nawiasach podano rok studiow, czy SMTA jest seminarium magisterskim tego studenta (mgr) a jesli tak, nazwiska opiekunow naukowych, o ile nie sa nimi prowadzacy SMTA.

O topologii algebraicznej

Topologia algebraiczna jako wyodrębniony dział matematyki liczy 100 lat. Polega na badaniu wlasnosci topologicznych przy pomocy metod algebraicznych, korzysta rowniez z narzedzi analitycznych. Podstawowe pojęcia topologii algebraicznej - homotopii i homologii zostały wprowadzone przez wielkiego matematyka francuskiego Henri Poincare (1854-1912). Poincare przypuszczał, ze jego idee odegrają fundamentalna role nawet w odleglych od topologii teoriach matematycznych. Ta wizja sprawdzila sie - wyniki i metody topologii algebraicznej wywarly ogromny wplyw na badania matematyczne w XX wieku; Choc kilkakrotnie gloszono zmierzch topologii algebraicznej, nastepne lata przynosily jednak nowe zaskakujace wyniki i nowe zastosowania klasycznych idei. Doskonale ilustruje to lista wybrancych matematykow, ktorzy przyczynili się do rozwoju idei topologii algebraicznej lub ich zasosowań: (w nawiasach kraje, w których działali oraz lata najważniejszych prac z tej dziedziny oraz ew. informacja o medalu Fieldsa):
J. W. Alexander (USA, 13-36), Salomon Lefschetz (USA, 20-33), Heinz Hopf (D-CH, 26-45), Karol Borsuk (PL, 31-37), Lew Pontrjagin (RUS, 31-50), Eduard Cech (CZ, 32-36), Charles Ehresmann (F, 34-54), Jean Leray (F, 35-50), Witold Hurewicz (PL-NL, 35-55), Hassler Whitney (USA, 35-57), Norman Steenrod (USA, 36-62), Hans Freudenthal (NL, 37-39), Samuel Eilenberg (PL-USA, 39-66), George De Rham (CH, 39-50), J.H.C. Whitehead (GB, 39-51), Henri Cartan (F, 45-56), S.S.Chern (Chiny-USA, 46-57), Rene Thom (F, 49-54, medal Fieldsa 1958), Jean-Pierre Serre (F, 51-53, medal Fieldsa 1954), Friedrich Hirzebruch (D, 53-56), Raoul Bott (USA, 54-70), John Milnor (USA, 56-70, medal Fieldsa 1962), Alexander Grothendieck (F, 57 medal Fieldsa 1966), J. Frank Adams (GB, 58-89), Michael F. Atiyah (GB, 59-70, medal Fieldsa 1966), Daniel Quillen (USA, medal Fieldsa 1978), Dennis Sullivan (USA), Stephen Smale (USA, medal Fieldsa 1966), William Browder (USA), Sergei P. Novikov (RUS, medal Fieldsa 1970), Greame Segal (GB, 64-80), Michael Freedman (USA, medal Fieldsa 1986), Simon Donaldson (UK, medal Fieldsa 1986), Vaughan Jones (USA, medal Fieldsa 1990), Vladimir Drinfeld (RUS-USA, medal Fieldsa 1990), Maxim Kontsevich (RUS-F, medal Fieldsa 1998),
Na ostatnim Kongresie Matematyków w Berlinie w 1998 roku dwa referaty plenarne były poświęcone zagadnieniom związanym z topologią algebraiczną. Dusa McDuff mówiła o rozwłóknieniach w topologii symplektycznej, natomiast Vladimir Voyevodsky z Petersburga (obecnie w Princeton) o przeniesieniu klasycznych metod teorii homotopii do geometrii algebraicznej (p. A^1-homotopy theory ). Ciekawym związkom topologii z informatyka był poświęcony referat M. Freedmanna w sekcji topologicznej. Na zbliżajacym się kongresie w Pekinie o stabilnej teorii homotopii będzie mówił Mike Hopkins z M.I.T.
Zainteresowanym historia topologii algebraicznej polecamy wyjatkowe dzielo J. Dieudonne A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960 Birhhaeuser 1989 oraz ciekawy zbior artykułow Algebraic Topology - A Student's Guide wydany przez J. F. Adamsa (Cambridge Univ. Press 1972) optarzony przedmowa autora o tym jak jego zdaniem powinno sie uczyc topologii algebraicznej.

O naszym seminarium

Seminarium adresowane jest przede wszystkim do studentow zainteresowanych badaniami matematycznymi lub nauczaniem matematyki na zaawansowanym poziomie. Charakter i tradycja tej dziedziny matematyki powoduja, ze ciekawe tematy moga na nim znalezc studenci interesujacy sie bardzo szerokim spektrum matematyki czystej - od abstrakcyjnej algebry, teorii kategorii przez topologie geometryczna i teorie wezlow po geometrie rozniczkowa i analize globalna. Na seminarium mozna przygotowywac prace magisterskie pod opieka specjalistow z roznych dziedzin. Zapraszamy takze studentow, ktorzy chcieliby wybrac nasze seminarium jako monograficzne. Studenci zainteresowani topologia algebraiczna beda mieli mozliwosci uczestniczenia w programach miedzynarodowej wspolpracy naukowej.
Zalozenia: Znajomosc topologii w zakresie przedmiotow Topologia I, II oraz Topologia Algebraiczna I,II oraz algebry w zakresie przedmiotow obowiazkowych na I i II roku studiow matematycznych.
Rekomendacje: Zainteresowanym topologia algebraiczna rekomendujemy w roku 2002/03 nastepujace przedmioty:
Tematy prac magisterskich przygotowanych przez uczestników seminarium w roku 2001 (w nawiasie nazwisko lub inicjały kierującego):
• Maciej Borodzik (prof. H. Żołądek) O pewnych uogólnieniach twierdzeń Pascala i Chasles'a.
• Renata Gruszka (SJ) Dowód twierdzenia Botta o periodyczności przy pomocy małych kategorii.
• Marcin Mucha (AB) Konstrukcja kwadratów Steenroda przy pomocy operadów.
• Piotr Seńko (AB) Gładkie działania grupy SU(2) na dyskach.
• Marcin Stalij (prof. J. Wisniewski) :Struktura kombinatoryczna stożków krzywych i stożków dywizorów szerokich na gładkich powierzchniach del Pezzo

---

Program w roku akademickim 2001/02

• Snopy, kohomologie o współczynnikach w snopie, twierdzenie de Rhama, kohomologie snopowe jako funktory pochodne,
• Ciągi spektralne, ciąg spektralny rozwłóknienia, zastosowania w teorii homotopii.

---

Propozycje na rok 2002/03

Proponujemy aby tematem seminarium w roku 2002/03 były przestrzenie klasyfikujące związane ze strukturami algebraicznymi i geometrycznymi. Istnieje ogolna konstrukcja przypisująca dowolnej małej kategorii (w szczególności zbiorowi częściowo uporządkowanemu lub grupie) $\C$ pewną przestrzeń topologiczną $B\C$, a funktorom $f:\C' ---> \C$ odwzorowania ciągłe $Bf:B\C' ---> B\C$. Gdy kategoria $\C$ jest zbiorem częściowo uporządkowanym, $B\C$ jest po prostu wielościanem będącym realizacją geometryczną odpowiedniego kompleksu symplicjalnego. Natomiast gdy $\C$ jest grupą dyskretną $G$ wtedy $BG$ jest przestrzenią Eilenberga-MacLane'a typu $K(G,1),$ czyli taką której grupa podstawowa jest izomorficzna z $G$ a pozostałe grupy homotopii znikaja. Wiele interesujących skądinąd przestrzeni jest przestrzeniami klasyfikującymi pewnych struktur algebraicznych.
Idea przestrzeni klasyfikujących została po raz pierwszy opisana przez Hasslera Whitneya w roku 1935. We współczesnym języku Whitney zauważył, że klasy homotopii odwzorowań $X --> BGL(n,R)$ z dowolnej przestrzeni $X$ w przestrzeń klasyfikującą grupy automorfizmów liniowych $R^n$ odpowiadają $n$-wymiarowym wiązkom wektorowym nad $X$. Ten fakt miał później podstawowe znaczenie dla przetłumaczenia zagadnień dotyczących topologii rozmaitości na język teorii homotopii i rozwiązania ich przy pomocy metod algebraicznych (teoria bordyzmu wg Rene Thoma). Przestrzenie klasyfikujące podgrup grupy liniowej zawierają infoirmacje o geometrycznych strukturach na rozmaitościach, definiowanych w terminach wiązki stycznej.
Inny klasyczny wynik związany z przestrzeniami klasyfikującycmi to odkryte przez R.Botta twierdzenie o periodyczności grup homotpii (przestrzeni klasyfikujących) nieskończenie wymiarowych grup klasycznych.
Przestrzenie klasyfikujące małych kategorii odegrały podstawową rolę w zdefiniowaniu przez D. Quillena tzw. wyższej algebraicznej K-teorii.
Przestrzenie klasyfikujące stały się znów obszarem bardzo intensywnych badań 20 lat temu po potwierdzeniu hipotezy D. Sullivana mówiącej, że dla grupy skończonej $G$ dowolne odwzorowanie $BG --> X$, gdzie $X$ jest skończonym wielościanem, jest ściągalne. Na przelomie lat osiemdziesiątych i dziewięćdziesiątych ub. wieku zostało udowodnionych wiele zaskakujących wyników o klasyfikacji homotopijnej odwzorowań między przestrzeniami klasyfikującymi zwartych grup Lie. Okazało się również, że przestrzenie klasyfikujące zwartych grup Lie mają wyjątkowe własności sztywności: ich typ homotopii jest jednoznacznie wyznaczony przez algebrę kohomologii (traktowaną jako algebra nad algebrą Steenroda). Ostatnio przedmiotem badań z homotopijnego punktu widzenia stały się nieskończenie wymiarowe grupy Kaca-Moody, stanowiące ważne uogólnienie zwartych grup Lie.
Przy pomocy "sklejania" przestrzeni klasyfikujących zwartych grup Lie została udzielona odpowiedź na klasyczne pytanie N.Steenroda o to, jakie wielomianowe algebry z gradacją mogą być algebrami kohomolgii przestrzeni topologicznych.
Pojęcie przestrzeni klasfikujących doprowadziło do powstania ciekawych homotopijnych uogólnień teorii zwartych grup Lie (w tym grup skończonych!). Okazało się, że podstawowe twierdzenia (np. o torusie maksymalnym, klasyfikacji itp.) o zwartych grupach Lie, które zdają się wykorzystywać w silny sposób strukturę rozmaitości gładkiej i działanie grupowe na grupie Lie można wykazać korzystając z pewnych czysto homotopijnych własności grup Lie.
Przestrzenie klasyfikujące mogą posiadać inne struktury niz topologię. Np. przestrzeń klasyfikująca dowolnej grupy Lie jest suma wstępującą rozmaitosci gładkich. Podobnie przestrzeń klasyfikująca grupy algebraicznej (nad C) może być wyposażona w pewną strukturę algebraiczną.
Chociaż przestrzenie klasyfikujące pozostają od 20 lat dziedziną intensywnych badań to wiele ciekawych zagadnień pozostaje wciąż otwartych. Daleka od zrozumienia jest teoria homotopijnych reprezentacji grup, budowana analogicznie do teorii reprezentacji liniowych. Znane wyniki dotyczące grup warto byłoby przenieść na pewne małe kategorie. Jest ciekawe na ile wyniki znane w kontekście topologicznym mogą być przeniesione na bogatsze struktury (algebraiczne). Ty tylko kilka haseł dających się sformułować bez wprowadzania bardziej zaawansowanych pojęć i oznaczeń. Na seminarium będziemy starali się przedstawić znane wyniki w sposób umożliwiający uczestnikom szybkie podjęcie samodzielnych badań.
Oto kilka przeglądowych artykułów dot. teorii homotopii przestrzeni klasyfikujących:
• S.Jackowski, J.McClure, B.Oliver Homotopy theory of classifying spaces of compact Lie groups, Algebraic Topology and its Applications. 81-123, MSRI Publications 27, Springer 1994
• J. Moller
• D. Notbohm Classifying spaces of compact Lie groups and finite loop spaces, in Handbook of Algebraic Topology, 1049-1094, North-Holland, Amsterdam, 1995.
oraz dowiązania do stron matematyków, którzy w ostatnich dwudziestu latach wnieśli istotny wkład do tej dziedziny: Hynes Miller, Gunnar Carlsson, James McClure, Bob Oliver, William Dwyer, Clarence Wilkerson, Jean Lannes,

---

Literatura i dowiazania

• Hopf Archive
• K-theory Preprints Archive

---

Archiwum

Strona SM TA 1999/2000

---

Stefan Jackowski
Aktualizacja: 2002.05.10

---

[Poczatek] [Miejsce i czas] [Prowadzacy i uczestnicy] [O topologii...] [O seminarium] [Program 2001/02] [Propozycje na rok 2002/03] [Literatura...] [Archiwum]

---