Topologia Algebraiczna

• Miejsce i czas

• Prowadzacy i uczestnicy

• O topologii algebraicznej

• O seminarium

• Program w roku akad. 1999/2000

• Plany na rok akad. 2000/01

• Literatura i dowiazania

• Archiwum

Miejsce i czas

Miejsce: Wydział MIM UW, ul.Banacha 2 (wejscie od ul. Pasteura),
sala 5081 (IV pietro)
Czas: Poniedzialki, 16:15-18:00 w okresie odbywania sie zajec dydaktycznych

Prowadzacy i uczestnicy

• Prowadzący:
  • Agnieszka Bojanowska e-mail: aboj@mimuw.edu.pl
    Konsultacje: wtorek 16:00-18:00 p. 5280
  • Stefan Jackowski e-mail: sjack@mimuw.edu.pl
    Konsultacje: p. 2140, po umowieniu e-poczta lub telefonicznie 658-3378

• Uczestnicy (rok akad. 1999/2000):
  • Marcin Bobienski (V rok, dr T.Maszczyk) Praca mgr: Przestrzenie twistorowe rozmaitosci flag.
  • Marcin Mucha (V rok) Praca mgr: Rozne modele sfery Poincare.
  • Piotr Senko (IV rok) Praca mgr: Gładkie działania grupy SU(2) na dyskach.
  • Konrad Bojar (IV rok)
  • Maciej Borodzik (IV rok, prof. H. Zoladek)
  • Grzegorz Darkiewicz (IV rok) - w semestrze zimowym
  • Renata Gruszka (IV rok)
  • Wojciech Hury (IV rok)
  • Marcin Stalij (IV rok, prof. UW J. Wisniewski)
  • Marcin Juchnicki (IV rok, SeMgr "Matematyka w informatyce")
  Uwaga: W nawiasach podano nazwiska opiekunow naukowych studentow lub seminarium, ktore zaliczaja jako magisterskie; osoby przy ktorych nie ma tych danych sa pod opieka prowadzacych SeMgr TA.

O topologii algebraicznej

Topologia algebraiczna jako wyodrebniony dzial matematyki liczy 100 lat. Dotyczy badan wlasnosci topologicznych przy pomocy metod algebraicznych, korzysta rowniez z narzedzi analitycznych. Tworca topologii algebraicznej, wielki matematyk francuski Henri Poincare (1854-1912) uwazal, ze ta dziedzina powinna odegrac fundamentalna role nawet w odleglych od topologii teoriach matematycznych. Jego wizja sprawdzila sie - wyniki i metody topologii algebraicznej wywarly ogromny wplyw na badania matematyczne w XX wieku. Choc w ciagu mijajacego wieku kilkakrotnie gloszono zmierzch topologii algebraicznej, nastepne lata przynosily jednak nowe zaskakujace wyniki i nowe zastosowania klasycznych idei. Doskonale ilustruje to lista matematykow, ktorzy otrzymali medale Fieldsa za osiagniecia zwiazane z topologia algebraiczna. Najnowszy przyklad stanowi nieoczekiwane przeniesienie przez V.Voyevodsky’ego klasycznych konstrukcji teorii homotopii do geometrii algebraicznej.
Zainteresowanym historia topologii algebraicznej polecamy wyjatkowe dzielo J. Dieudonne A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960 Birhhaeuser 1989 oraz ciekawy zbior artykułow Algebraic Topology - A Student’s Guide wydany przez J. F. Adamsa (Cambridge Univ. Press 1972) optarzony przedmowa autora o tym jak jego zdaniem powinno sie uczyc topologii algebraicznej.

O naszym seminarium

Seminarium adresowane jest przede wszystkim do studentow zainteresowanych badaniami matematycznymi lub dydaktyka matematyki na wysokim poziomie. Charakter i tradycja tej dziedziny matematyki powoduja, ze ciekawe tematy moga na nim znalezc studenci interesujacy sie bardzo szerokim spektrum matematyki czystej - od abstrakcyjnej algebry, teorii kategorii przez topologie geometryczna i teorie wezlow po geometrie rozniczkowa i analize globalna. Na seminarium mozna przygotowywac prace magisterskie pod opieka specjalistow z roznych dziedzin. Zapraszamy takze studentow, ktorzy chcieliby wybrac nasze seminarium jako monograficzne. Studenci zainteresowani topologia algebraiczna beda mieli mozliwosci uczestniczenia w programach miedzynarodowej wspolpracy naukowej. Wspolnie z uczestnikami bedziemy rozwijac strony WWW seminarium.
Zalozenia: Znajomosc topologii w zakresie przedmiotow Topologia I, II oraz Topologia Algebraiczna I,II oraz algebry w zakresie przedmiotow obowiazkowych na I i II roku studiow matematycznych.
Rekomendacje: Zainteresowanym topologia algebraiczna rekomendujemy nastepujace przedmioty (w tym seminaria) monograficzne:

Program w roku akademickim 1999/2000

• Przedstawienie prac licencjackich:
• K. Bojar Tytuł?
• Marcin Basiuk Amalgamaty oraz grupy dzialajace na drzewach przez automorfizmy.
• R. Gruszka Przestrzenie konfiguracji i grupy warkoczy
• W. Krych (praca z G. Darkiewiczem) Homologie i kohomologie grup z jedna relacja. Twierdzenie Lyndona.
• Cykl referatow K. Bojara, M. Muchy i dr. Krzysztofa Pawalowskiego z Uniwersytetu im A. Mickiewicza w Poznaniu nt. Konstrukcje działań grup cyklicznych rzedu pierwszego na dyskach z zadanym zbiorem punktow stalych (wg pracy Lowell Jones The converse to the fixed point theorem of P. A. Smith: I Annals of Mathematics 94 (1971), 52-68.
• Rozne dowody twierdzenia R. Botta o periodycznosci grup homotopii grupy unitarnej:
• G. Darkiewicz Botta przez przez sklejanie wiązek (wg M. F. Atiyah, R. Bott )
• M. Borodzik Homologiczny dowod H. Cartana. (wg. E. Dyer Cohomology theories (Chapter II),) Benjamin
• R. Gruszka Tw. Botta i przestrzenie klasyfikujace malych kategorii. (wg B. Harris Bott periodicity via simplicial spaces Journal of Algebra 62, (1980), 450-454);
• M. Bobienski Tw. Botta przez teorie Morse'a (oryginalny dowód R. Botta) ( wg J. Milnor Morse theory Princeton University Press)

Propozycje na rok akademicki 2000/01

Program seminarium w roku akademickim 2000/2001 bedzie ustalony wspolnie z uczestnikami na poczatku roku. Postaramy sie, aby uwzglednial ich zainteresowania oraz zakres wiedzy matematycznej, w szczegolnosci w zakresie algebry i topologii.
Nasze wstępne propozycje do wyboru:
• Metody topologiczne w teorii grup
Badanie grup poprzez ich działania na przestrzeniach topologicznych,
• Rozkłady przestrzeni na których działa grupa i ich zastosowania
Działanie grupy na przestrzeni pomaga badać jej topologię np. teoria Morse’a, rozkład A. Białynickiego-Biruli algebraicznej rozmaitości na której działa grupa multyplikatywna itp.
• Twierdzenia o punktach stałych działań grup skończonych
Piękne twierdzenia P.A. Smitha, które wiążą własności topologiczne zwartej przestrzeni na której działa skończona $p$-grupa z własnościami zbioru punktów stałych doczekały się wielu wspaniałych rozszerzeń i uogólnień. Ciekawe jest tez odwrotne pytanie: kiedy dany skończony kompleks jest homeomorficzny ze zbiorem punktów stałych działania ustalonej grupy skończonej na pewnym dysku.
• Homotopijny wariant teorii zwartych grup Lie
Podstawowe twierdzenia (np. o torusie maksymalnym, klasyfikacji itp.) o zwartych grupach Lie zdają się wykorzystywać w silny sposób strukturę rozmaitości gładkiej i działanie grupowe na grupie Lie. Tymczasem okazuje się, że te i wiele ogólniejszych twierdzeń można wykazać korzystając z pewnych czysto homotopijnych własności grup Lie.

Literatura i dowiazania

• Hopf Archive

[Poczatek] [Miejsce i czas] [Prowadzacy i uczestnicy] [O topologii...] [O seminarium] [Program i plany] [Literatura...]