Klasy charakterystyczne wiązek wektorowych
Wykład monograficzny z ćwiczeniami na Wydziale MIM UW
Wydział MIM UW, ul.
Banacha 2 (wejście od ul. Pasteura),
Czwartek. 14:15-17:45, sala 5840
Prowadzący: Agnieszka
Bojanowska i Stefan Jackowski
Opis i Program
Z opisu klasycznej książki J.Milnor,
J. Stasheff „Characteristic
classes” :
„The theory of characteristic classes provides a meeting ground for the various disciplines of differential topology, differential and algebraic
geometry, cohomology, and fiber bundle theory. As such, it is a fundamental
and an essential tool in the study of differentiable manifolds.”
Wiązki wektorowe to rodziny przestrzeni
wektorowych parametryzowane punktami
pewnej przestrzeni topologicznej – narzędzie linearyzacji problemów
geometrycznych. Najważniejszy przykład: wiązka przestrzeni stycznych do
rozmaitości różniczkowej. Klasy charakterystyczne to algebraiczne niezmienniki
wiązek należące do grup (ko-)homologii przestrzeni parametrów.
Wykład przeznaczony jest dla studentów
zainteresowanych szeroko rozumianymi geometrią i topologią. Zakładana będzie
znajomość topologii algebraicznej w zakresie przedmiotu Topologia
Algebraiczna.
Algebraicznej II.
Program
- Rzeczywiste
i zespolone wiązki wektorowe; przeniesienie konstrukcji z algebry
liniowej. Pull-back. Grupa strukturalna wiązki
wektorowej. Orientowalność. Metryka Riemanna. Wiązki styczne i normalne.
Wiązka kanoniczna.
- Klasyfikacja
homotopijna wiązek wektorowych. Izomorfizm grupy wiązek 1-wymiarowych i
grup kohomologii.
- Uogólnione
multiplikatywne teorie kohomologii. Tw. Leray-Hirscha. Orientacja wiązek. Równoważność
geometrycznej i kohomologicznej definicji
orientowalności. Complex oriented
cohomology
- Aksjomatyczna
definicja klas charakterystycznych wiązek.
- Konstrukcja
klas charakterystycznych Stiefela-Whitneya i Cherna przez zasadę rozszczepiania. Klasy Pontriagina.
- Operacje
kohomologiczne. Kwadraty Steenroda.
Klasy SW przez kwadraty Steenroda. Klasy SW
rozmaitości topologicznych.
- Teoria
przeszkód i interpretacja klas Stiefela-Whitneya
i Cherna w tych terminach.
- Klasy
Cherna w kohomologiach
de Rhama (info)
- Zastosowania
geometryczne klas charakterystycznych: twierdzenia o zanurzaniu
rozmaitości w przestrzeń euklidesową;
paralelyzowalność orientowalnych,
zamkniętych rozmaitości 3-wymiarowych.
- Liczby
charakterystyczne i genusy. Bordyzm rozmaitości. Twierdzenie Hirzebrucha o sygnaturze. (info)
Materiały
Literatura i dowiązania
A.Bojanowska, S.Jackowski Topologia
II, skrypt WMIM UW 2009
Robert
R. Bruner, Michael Catanzaro, J. Peter May
Characteristic classes. 1974
Ralph
L. Cohen The Topology
of Fiber Bundles. Lecture Notes, Dept.
of Mathematics, Stanford University. 1998
E.
Dyer, Cohomology theories, Lecture Note Series, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969
D.
Huemoller Fiber
Bundles. Third Edition. Graduate
Texts in Mathematics 20.
Springer 1993
Ib Madsen Lectures on Characteristic Classes in Algebraic Topology. 1986
John
Milnor & James D. Stasheff Characteristic Classes. Annals of Mathematics Studies 76, Princeton University Press.
Robert
M. Switzer, Algebraic topology—
homotopy and homology. Die Grundlehren der math. Wissenschaften, Band 212, Springer-Verlag,
Berlin, 1975
Stefan Jackowski
Aktualizacja: 2019-09-29
[Początek]
[Miejsce i czas] [Prowadzący] [Program] [Notatki do wykładu] [Zadania na ćwiczenia] [Literatura...]