ZADANIA DLA SEMINARZYSTOW

KOLEJNE ZADANIA DLA SEMINARZYSTOW

Skrócony opis: Seminarium obejmuje bardzo szerokie spektrum matematyki czystej - od abstrakcyjnej algebry, teorii kategorii przez geometrię algebraiczną, topologię geometryczną i teorię węzłów po geometrię różniczkową i analizę globalną.

Seminarium magisterskie z topologii algebraicznej jest adresowane do studentów zainteresowanych badaniami matematycznymi lub nauczaniem matematyki na zaawansowanym poziomie. Charakter i tradycja tej interdyscyplinarnej dziedziny matematyki powoduj±, że ciekawe tematy mogą na nim znaleźć studenci interesujący się bardzo szerokim spektrum matematyki czystej - od abstrakcyjnej algebry, teorii kategorii przez geometrię algebraiczną, topologię geometryczną i teorię węzłów po geometrię różniczkową i analizę globalną. Uczestnicy seminarium mogą przygotowywać prace magisterskie pod opieką specjalistów z różnych dziedzin.

Tematyka seminarium w roku 2005/06 może uwzględniać zainteresowania osób, które się na nie zgłoszą. Ze swej strony proponujemy cykl referatów osnuty wokół związków struktur geometrycznych i analitycznych na rozmaitościach (gładka, metryczna, analityczna, symplektyczna itp.) z ich własnościami topologicznymi. W centrum naszych zainteresowań znajdą się własności działań grup na rozmaitościach. W szczególności działania grup Liego i ich nieskończonych podgrup na rozmaitościach z dodatkowymi strukturami (symplektyczną, algebraiczną itp.). Będziemy badać własności topologiczne takich działań.

Prowadzący zapraszają do zwracania się do nich bezpośrednio z pytaniami lub pomysłami.

Założenia: Znajomość topologii w zakresie przedmiotów Topologia I, II oraz algebry w zakresie przedmiotów obowiązkowych na I i II roku studiów matematycznych.

Rekomendowane wykłady:

(F=fakultatywny M=monograficzny S=seminarium)

Algebra III 1 (Okiński, F)
Geometria algebraiczna (Białynicki-Birula, F)
Geometria różniczkowa II (Jakubczyk, F)
Topologia algebraiczna I (Bojanowska, F)
Topologia algebraiczna II (Jackowski, F)
Teoria liczb (Browkin, F)
Algebra homologiczna I (Betley, M)
Grupy algebraiczne (Langer, M)
Geometria algebraiczna II: schematy i kohomologie (Langer, M)
Ciała wymiaru 1, krzywe algebraiczne i powierzchnie Riemanna (Wiśniewski, S)

W roku akademickim 2004/2005

Tematem seminarium będa grupy Lie, nazwane na cześć norweskiego matematyka Sophusa Lie (1842-1899). Są to grupy, które jednocześnie są rozmaitościami różniczkowymi - najwazniejsze przyklady to grupy liniowe (macierzy) nad ciałem liczb rzeczywistych i zespolonych oraz ich domkniete podgrupy, grupy izometrii rozmaitości riemannowskich i automnorfizmów rozmaitych struktur geometrycznych. Grupy Lie odgrywają one fundamentalną rolę w wielu dziedzinach matematyki takich jak topologia, geometria różniczkowa i algebraiczna, algebra a nawet kombinatoryka. Teoria reprezentacji grup Lie odgrywa ważna rolę w fizyce cząstek elementarnych; waznym uogólnieniem grup Lie sa grupy kwantowe, intensywnie badane przez fizyków i matematyków.

Więcej informacji można znaleźć tu.
Informacje encyklopedyczne.

Na początku seminarium zaproponujemy uczestnikom kilka tematów do kontemplacji, które mogłyby byc punktem wyjścia do prac magisterskich.

Plan:

• podstawowa teoria grup zwarych (np wg. Adamsa),

• grupy liniowe reduktywne (Humphreys),

• porównanie obu teorii: maksymalne podgrupy zwarte, kompleksyfikacja,

• przestrzenie jednorodne (tzn ilorazy postaci G/H), w szczegolnosci grasmanniany, rozmaitosci flag,

• rozklady przestrzeni jednorodnych na komórki, klatki Schuberta,

• kohomologie przestrzeni jednorodnych i teoria przecięć,

• elementy teorii reprezentacji,

• przestrzenie pętli

  ---

  W pierwszym semestrze referaty będą uporządkowane wed"lug wykladow G. Segala [Lectures on Lie groups and Lie algebras - Carter, Segal, MacDonald]. Referenci b"eda też korzystać z innych zródeł z podanaj poniżej bibliografi:

• 20 X - Przykłady - wg [Fulton-Harris, Representation Theory] rozdz. 7

• 27 X - SU2, SO3, SL2 - [Segal] rozdz. 2

• 3-10 XI - Przestrzenie jednorodne - [Segal] rozdz. 3

• 17 XI - Rozwi±zywanie zadań

• 24 XI - Pare twierdzeń o macierzach - [Segal] rozdz. 3 (notatki Dariusza Jabłonowskiego)

• 1 XII - Exp i algebry Lie - [Segal] rozdz. 5, [Fulton-Harris] rozdz. 8

• 8 XII - Algebry Lie - [Fulton-Harris] rozdz. 10

• 15 XII - Torusy maksymalne - [Adams] rozdz. 4

• 22 XII - PROPOZYCJE TEMATOW PRAC MAGISTERSKICH

• 5 I - Szeregi Fouriera i teoria reprezentacji torusa - [Segal] rozdz. 6

• 12 I - Systemy pierwiastkow

• 17 I, 15, 22 II - klasyfikacja polprostych algebr Lie [Fulton] rozdzial 21

• 2 III - Grupa G2 [Whitehead], Appendix

• 9 III - G2 (cd),

• 9,16 III - Piotr Chlebus - Praca magisterska

• 23 III - Reprezentacje sl3 - [Fulton] rozdz. 12,13

• 6 IV - Calkowanie algebr Liego (od algebr do grup)

• 13-20 IV - Algebry Cliforda i grupa spin

• 27 IV - Twierdzienie Petera-Weyla [Segal] rozdz. 9

• 4 V - Kraty w algebrze Lie i grupa pdstawowa rozdz. 23.1

• 11 V - Reprezentacje polprostych grup Lie [Fulton-Harris], rozdz. 23.2

• Przewidziane sa też sesje rozwiazywania problemów z listy zadań
  W nastepnej kolejnosci:

• Rozklad Bruhata [Fulton-Harris] 23.4, [Humphreys] rozdz. 24

• Weyl character formula [Fulton- Harris] rozdz. 28,
  
  Zadania do rozwiązania
  
  Ponadto zadania można znaleźć na stronie Niezależnego Uniwersytetu Moskiewskiego: V. Ostrik , B.Feigin, V.Dotsenko,
  (a to sa wszystkie kursy IUM).

Literatura:

• Carter, Roger; Segal, Graeme; Macdonald, Ian - Lectures on Lie groups and Lie algebras. London Mathematical Society Student Texts, 32.

• Adams, J.F. - Lectures on Lie groups.

• Humphreys, James E. - Linear algebraic groups.

• Fulton, William; Harris, Joe - Representation theory. A first course.

• Knapp, Anthony W. - Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples.

• Onishchik A. L., Vinberg E. B. - Lie groups and Lie algebras. Springer-Verlag, 1990

• Borel, Armand - Linear algebraic groups. Graduate Texts in Mathematics, 126. Springer-Verlag, 1991

• Mimura, Mamoru; Toda, Hirosi - Topology of Lie groups I, II. Translated from the 1978 Japanese edition

• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo - Representations of compact Lie groups. Graduate Texts in Mathematics, 98.

• Wojtyński, Wojciech - Grupy i algebry Liego. Biblioteka Matematyczna 60. PWN, Warsaw, 1986

• Borel, Armand - Essays in the history of Lie groups and algebraic groups. History of Mathematics 21, AMS 2001

• O'Meara, O. T. - Symplectic groups. Mathematical Surveys, 16. AMS 1978.

• Dieudonné, Jean A. - La géométrie des groupes classiques.

• Baez, John C. The octonions. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39 (2002), no. 2, 145-205

• Atiyah, M. F.; Bott, R.; Shapiro, A. Clifford modules. Topology 3 1964 suppl. 1, 3-38

• Whitehead, George W. Elements of homotopy theory. (Appendix) Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978

Więcej literatury.


Założenia w r. 2004/05: Znajomosc algebry, analizy i topologii w zakresie przedmiotow obowiazkowych na I i II roku studiow matematycznych.

Rekomendacje: Zainteresowanym naszym seminarium rekomendujemy w roku 2004/05 nastepujace przedmioty:

Wykłady fakultatywne, na które koniecznie trzeba się zarejestrować, jeżeli nie są zaliczone.

• Topologia II

• Geometria różniczkowa I

  Inne rekomendowane wykłady fakultatywne:

• Topologia algebraiczna I i II

• Geometria różniczkowa II

• Geometria algebraiczna I

  Rekomendowane wykłady monograficzne:

Miejsce i czas

Miejsce: Wydział MIM UW, ul.Banacha 2 (wejście od ul. Pasteura), sala 5850
Czas: Środy 16:15-17:45 w okresie odbywania się zajeć dydaktycznych

Prowadzący i uczestnicy

• Prowadzący:

  • Stefan Jackowski e-mail: sjack@mimuw.edu.pl tel. 5544214
    Konsultacje: p. 2140, poniedziałek 16:00-18:00 lub po umówieniu e-poczta lub telefonicznie.

  • Andrzej Weber e-mail: aweber@mimuw.edu.pl, tel. 5544522
    Konsultacje: p. 5220, środy 14:15-15:45

• Uczestnicy (rok akad. 2004/05):

  • Marek Al-Saadi

  • Piotr Chlebus

  • Łukasz Gleń

  • Dariusz Jabłonowski

  • Katarzyna Jachim

  • Krzysztof Krzywdziński

  • Gabriel Pietrzkowski

  • Maciej Próchniak

  • Szymon Toruńczyk

O naszym seminarium

Seminarium adresowane jest przede wszystkim do studentów zainteresowanych badaniami matematycznymi lub nauczaniem matematyki na zaawansowanym poziomie. Charakter i tradycja tej dziedziny matematyki powoduja, ze ciekawe tematy mogą na nim znależć studenci interesujacy sie bardzo szerokim spektrum matematyki czystej - od abstrakcyjnej algebry, teorii kategorii przez topologie geometryczna i teorie węzłow po geometrie różniczkową, analityczną i różniczkową i analizę globalną. Na seminarium można przygotowywac prace magisterskie pod opieka specjalistów z rożnych dziedzin. Zapraszamy także studentów, ktorzy chcieliby wybrac nasze seminarium jako monograficzne. Studenci zainteresowani topologią algebraiczną bedą mieli możliwości uczestniczenia w programach miedzynarodowej wspolpracy naukowej.

O topologii algebraicznej

Topologia algebraiczna jako wyodrębniony dział matematyki liczy 100 lat. Polega na badaniu wlasnosci topologicznych przy pomocy metod algebraicznych, korzysta rowniez z narzedzi analitycznych. Podstawowe pojęcia topologii algebraicznej - homotopii i homologii zostały wprowadzone przez wielkiego matematyka francuskiego Henri Poincare (1854-1912). Poincare przypuszczał, ze jego idee odegrają fundamentalna role nawet w odleglych od topologii teoriach matematycznych. Ta wizja sprawdziła sie - wyniki i metody topologii algebraicznej wywarly ogromny wpływ na badania matematyczne w XX wieku; Choć kilkakrotnie głoszono zmierzch topologii algebraicznej, nastepne lata przynosily jednak nowe zaskakujace wyniki i nowe zastosowania klasycznych idei. Doskonale ilustruje to lista wybrancych matematykow, którzy przyczynili się do rozwoju idei topologii algebraicznej lub ich zasosowań: (w nawiasach kraje, w których działali oraz lata najważniejszych prac z tej dziedziny oraz ew. informacja o medalu Fieldsa):
 

James Waddell Alexander (USA, 13-36), Salomon Lefschetz (USA, 20-33), Heinz Hopf (D-CH, 26-45), Karol Borsuk (PL, 31-37), Lew Pontrjagin (RUS, 31-50), Eduard Cech (CZ, 32-36), Charles Ehresmann (F, 34-54), Jean Leray (F, 35-50), Witold Hurewicz (PL-NL, 35-55), Hassler Whitney (USA, 35-57), Norman Earl Steenrod (USA, 36-62), Hans Freudenthal (NL, 37-39), Samuel Eilenberg (PL-USA, 39-66), George De Rham (CH, 39-50), John Henry Constanine Whitehead (GB, 39-51), Henri Cartan (F, 45-56), Shiing-shen Chern (Chiny-USA, 46-57), Rene Thom (F, 49-54, m. Fieldsa 1958), Jean-Pierre Serre (F, 51-53, m. Fieldsa 1954),

Friedrich Hirzebruch (D, 53-56), Raoul Bott (USA, 54-70), John Milnor (USA, 56-70, m. Fieldsa 1962), Alexander Grothendieck (F, 57, m. Fieldsa 1966), John Frank Adams (GB, 58-89), Michael F. Atiyah (GB, 59-70, m. Fieldsa 1966), Daniel Quillen (USA, m. Fieldsa 1978), Dennis Sullivan (USA), Stephen Smale (USA, m. Fieldsa 1966), William Browder (USA), Sergei Petrovich Novikov (RUS, m. Fieldsa 1970), Greame Segal (GB, 64-80), Michael Freedman (USA, m. Fieldsa 1986), Simon Donaldson (UK, m. Fieldsa 1986), Vaughan Jones (USA, m. Fieldsa 1990), Vladimir Drinfeld (RUS-USA, m. Fieldsa 1990), Maxim Kontsevich (RUS-F, m. Fieldsa 1998), Vladimir Voyevodsky (RUS-USA, m. Fieldsa 2002).

Zainteresowanym historią topologii algebraicznej polecamy wyjatkowe dzieło J. Dieudonne A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960 Birhhaeuser 1989 oraz ciekawy zbior artykułow Algebraic Topology - A Student's Guide wydany przez J. F. Adamsa (Cambridge Univ. Press 1972) optarzony przedmową autora o tym jak jego zdaniem powinno się uczyć topologii algebraicznej. Interesujacy jest też artykuł S. Nowikowa Topologia Algebraiczna (po rosyjsku).

Tematy obronionych prac magisterskich

• Maciej Borodzik (2001, prof. H. Żołądek) O pewnych uogólnieniach twierdzeń Pascala i Chasles'a.

• Renata Gruszka (2001, SJ) Dowód twierdzenia Botta o periodyczności przy pomocy małych kategorii.

• Marcin Mucha (2001, AB) Konstrukcja kwadratów Steenroda przy pomocy operadów.

• Piotr Seńko (2001, AB) Gładkie działania grupy SU(2) na dyskach.

• Marcin Stalij (2001, prof. J. Wisniewski) :Struktura kombinatoryczna stożków krzywych i stożków dywizorów szerokich na gładkich powierzchniach del Pezzo

• Weronika Krych (2002, prof. J. Wiśniewski) Rzutowe rozmaitości toryczne

• Wojciech Hury (2002, SJ) Operacje kohomologiczne w singularnej ekwiwriantnej teorii kohomologii

• Radosław Bojanowski (2003, dr A. Langer)

• Jarosław Buczyński (2003, prof. J.Wiśniewski)

• Paweł Witkowski (2003, SJ) Ekwiwariantny charakter Cherna

• Olga Weber (2003, dr A. Bojanowska) Przestrzeń konfiguracji punktów na okręgu

• Marcin Szamotulski (2004, dr A.Weber) Rozkłady Lefschetza w przestrzeniach włóknistych

• Konrad Bojar (V, mgr) Praca mgr: Orientacje wiazek wektorowych w K-teoriach. (Praca w toku.)
   

  Uwaga: W nawiasie rok obrony i nazwisko lub inicjały kierującego

Literatura i dowiazania:

Klasycy

• M. F. Atiyah Mathematics in the 20th century

• M.J.Hopkins Algebraic Topology and Modular Forms ICM 2002

Hipoteza Poincare

• The New York Times Science, April 15, 2003

• J. Milnor The Poincare Conjecture 99 Years Later. A Progress Report. February 2003

Geometria różniczkowa i zespolona

• Skrypt z Geometrii i Różniczkowej A. Bialynickiego-Biruli.

• S. Bloch Lectures on algebraic cycles

• R. Bott, L. W. Tu Differential forms in algebraic topology

• S. S Chern Complex manifolds without potential theory

• P. Deligne Theorie de Hodge II, III, Publ. Math. I.H.E.S. 40 (1972) str. 5-57; Publ. Math. I.H.E.S. 44 (1974) 5-77

• P. Griffiths, J. Harris Principles of algebraic geometry

• P. Griffiths, W. Schmid, Recent developments in Hodge theory, a discussion of techniques and results. roceedings of the International Colloquium on Discrete Subgroups of Lie Groups (Tata Institute, Bombay 1973) str. 31-127

• F. W. Warner Foundations of differentiable manifolds and Lie groups

• R. O. Wells Differential analysis on complex manifolds.

Grupy i algebry Lie

Literatura podana jest przy tematach referatów.

Obiekty symplicjalne

• W. Chacholski, J.Scherer Homotopy theory of diagrams Memoirs of the American Mathematical Society

• P. Gabriel, M. Zisman Calculus of fractions and homotopy theory Springer 1967 (tlumaczenie rosyjskie Mir 1971)

• G. Segal Classifying spaces and spectral sequences Publ. IHES 34, 1967

• J. P. May Simplicial objects in algebraic topology University of Chicago Press

• M. Hopkins Homotopy limits and colimits Northwestern Thesis

• S.I. Gelfand, J.I.Manin Methods of homological algebra (oryginal rosyjski 1988)

• S. Jackowski Zadania o zbiorach symplicjalnych, małych kategoriach i ich geometrycznych realizacjach.

• P. Selick Introduction to Homotopy Theory American Math. Society 1997

• W. G. Dwyer Classifying spaces and homology decompositions Centre de Recerca Matematica, Barcelona 1998

• L. Vokrinek Homological algebra of functors

Archiwa preprintów

• Hopf Archive

• ArXive

• K-theory Preprints ArXiv

Archiwum SMTA

• Strona SM TA 1999/2000

• Strona SM TA 2002/2003

• Strona SM TA 2003/2004

Aktualizacja: 04.11.2004 

[Poczatek] [Miejsce i czas] [Prowadzacy i uczestnicy] [O topologii...] [O seminarium] [Literatura...][Archiwum]