Geometria Tensorów, wykład monograficzny z ćwiczeniami, semestr zimowy 2014/2015

link do USOSu

Wykładowca: Jarosław Buczyński

Wymagania wstępne: Wykład przeznaczony dla studentów co najmniej trzeciego roku matematyki lub informatyki (z zainteresowaniami matematycznymi). Zdolni studenci drugiego roku też mogą uczestniczyć w wykładzie, pod warunkiem samodzielnego nadgonienia materiału z algebry (pierścienie przemienne, ideały, pierścienie wielomianów). Wymagana jest biegłość w algebrze liniowej (np. po wykładzie z GALu); przydatna może być też znajomość Algebry II, oraz równoległe uczestnictwo w wykładzie z Geometrii Algebraicznej.

Tematyka wykładu jest z jednej strony dostępna dla studentów na w miarę początkowym etapie nauki, a z drugiej strony dotyka zagadnień matematyki bliskich współczesnego frontu badawczego. Istnieje możliwość pisania pracy licencjackiej lub magisterskiej z tematyki przedstawianej na wykładzie, także z wykorzystaniem innych zainteresowań studenta, np., teorii reprezentacji, topologii, geometrii, geometrii algebraicznej, informatyki. Osoby zainteresowane pisaniem pracy powinny zgłosić się do prowadzącego wykład i uzgodnić to z prowadzącymi odpowiednie (pro-)seminarium licencjackie lub magisterskie, im wcześniej tym lepiej.

Terminy spotkań

Pierwsze spotkanie (wykład i ćwiczenia): czwartek, 2 października 2014, godz. 14-18, sala 3120 (MIMUW)

Drugie spotkanie (wykład i ćwiczenia): poniedzialek, 6 października 2014, godz. 8:30-12, sala 3120

Kolejne spotkania:
poniedzialek, 24 listopada 2014, godz. 12-14, sala 4050
czwartek, 27 listopada 2014, godz. 14-18, sala 5870
poniedziałek, 1 grudnia 2014, godz. 12-14, sala 4050
czwartek, 4 grudnia 2014, godz. 14-18, sala 5870
...
poniedziałek, 26 stycznia 2015, godz. 12-14, sala 4050
środa, 28 stycznia 2015, godz. 14:15-17:30, sala ????

Notatki

Połączony tekst notatek, wersja 3.

stare notatki

• Wstęp i rozkłady wielomianów jednorodnych w dwóch zmiennych.
• Definicja rozmaitości siecznych oraz wstęp do geometrii algebraicznej (Wykład 24 listopada 2014).
• Odwzorowania rozmaitości algebraicznych, Lemat Teracini'ego - wersja wstępna (Wykład 26 listopada 2014).
• Równania rozmaitości siecznych, spłaszczenia - wersja wstępna (Wykład 4 grudnia 2014).
• Abiegunowość (Wykład 8 grudnia 2014).
• Abiegunowość dla dwóch zmiennych (Wykład, prawdopodobnie 18 grudnia 2014).
• Zadania o Pfaffianach (Ćwiczenia 15 grudnia 2014).
• Zadania domowe do oddania na 12 stycznia 2015.

Prace domowe

Jest już dostępna pierwsza część notatek z zadaniami: plik .pdf. Opis:
Rozdział 1 można sobie przeczytać, jako opowiastkę i motywację (część z tego była na pierwszych wykładach).
Rozdział 2 trzeba przeczytać i trzeba umieć zrobić wszystkie znajdujące się tam ćwiczenia. Niektóre ćwiczenia są banalne, służą głównie przyzwyczajaniu się do oznaczeń.
Rozdział 3 jest w trakcie powstawania, należy na razie zignorować. Będzie on omawiał tematy, które były na pierwszych wykładach.
Jako zadanie domowe należy przysłać do 13 listopada 2014 rozwiązania jednego z poniższych zestawów ćwiczeń:
1. Zestaw "pracuś": wszystkie ćwiczenia 2.1-2.12, za wyjątkiem 2.2, 2.10(iii)(b), 2.10(iii)(d), 2.10(iv)
2. Zestaw "leniuch": całe ćwiczenie 2.10 (czyli podpunkty (i), (ii), (iii)(a)-(d), (iv)(a)-(b)) oraz 2.13 (UWAGA: trzeba też udowodnić wszystko, z czego się korzysta, w tym niektóre z poprzednich zadań!)
3. Zestaw "maruda": wszystkie ćwiczenia 2.1-2.9 (UWAGA: wybierając "marudę" zoobowiązujesz się do zrobienia zadania 2.10(i)-(iii) w późniejszym terminie, do 27 listopada 2014)
Nie zaszkodzi, jeśli zadania spiszecie w $\LaTeX$ i przyślecie w pdfie. Ewentualnie można napisać na kartce i zeskanować, lub zrobić zdjęcie, byle czytelnie! Zachęcam do zadawania pytań. Jeśli ktoś by wolał porozmawiać, to proszę o informację.

Bonusy za uważne czytanie notatek:
1. Za każdą znalezioną literówkę w notatkach $\frac{1}{200}$ punktu; (1 pkt = maksimum za tą część zadań domowych).
2. Za każdy znaleziony błąd natury merytorycznej $\frac{1}{50}$ punktu.
Błędy i literówki trzeba zgłaszać wysyłając maila do mnie. Za jeden błąd/literówkę przyznawane są punkty tylko jednej osobie (zazwyczaj, tej która pierwsza zgłosi, chyba, że zainteresowani uzgodnią inaczej).


Treść wykładu: (propozycja na semestr zimowy 2014/2015)

1. Odwzorowania wieloliniowe, przestrzenie tensorowe, tensory symetryczne i skośnie-symetryczne, wielomiany jako tensory symetryczne.
2. Ranga dla macierzy, wielomianów i tensorów. Wprowadzenie do tensorów. Mnożenie macierzy jako tensor. Ranga mnożenia macierzy i jej interpretacja w złożoności obliczeniowej. Algorytm mnożenia macierzy 2x2 używający 7dmiu mnożeń liczb.
3. Ranga i ranga brzegowa dla dowolnego podzbioru i dla podrozmaitości w przestrzeniach afinicznych i rzutowych. Rozmaitości siecznych. Różnice między rangą a rangą brzegową.
4. Rangi dla tensorów, cd. Spłaszczenia tensorów, równania rozmaitości siecznych do rozmaitości Segre. Tensory w $\mathbb{C}^2\otimes \mathbb{C}^n \otimes\mathbb{C}^m$.
5. Rangi dla wielomianów, cd. Problem Waringa dla wielomianów. Ideał i algebra abiegunowa wielomianu. Macierze katalektyczne i równania rozmaitości siecznych do rozmaitości Veronese. Wielomiany w dwóch i trzech zmiennych.
6. Geometria algebraiczna tensorów i wielomianów. Rozmaitości siecznych w ogólności.
7. (jeśli czas i zainteresowanie uczestników pozwoli) Kumulanty, telefonia komórkowa, spektroskopia, i inne zastosowania rozkładania tensorów.

Rozkład zajęć

W roku akademickim 2014/2015 z powodu wyjazdu prowadzącego w okresie od 7 października do 22 listopada zajęcia będą się odbywały w następującym schemacie:

• w okresie 1-7 października: 2 do 3 wykładów, 2 ćwiczenia
• w okresie 8 października -22 listopada trzy serie zadań domowych, do których będą dołączone krótkie notatki z nowym materiałem. Zawartość notatek należy sobie przyswoić, a rozwiązania zadań wysłać e-mailem. Można zadawać pytania przez e-mail, ewentualnie konsultacje przez skype'a, ewentualnie na żywo w Warszawie z wyznaczonym naukowcem zastępującym.
• w okresie od 22 listopada do końca semestru 12*wykładów, 11*ćwiczeń.

Czyli średnio będzie około 6 godzin zajęć w tygodniu, poza okresem wyjazdu. W razie zapotrzebownania możliwe jest zorganizowanie dodatkowych ćwiczeń pod koniec semestru.

Ocena końcowa

jest wystawiana na podstawie dwóch sprawdzianów (po 20% oceny), zadań domowych (20% oceny, łącznie 6 serii), oraz egzaminu końcowego (40% oceny).

Literatura:

• Książka "Geometry of tensors", J.M. Landsberg, 2011.
• ...

---