Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zadania1.tex
%     Created: wto lut 02 12:00  2010 C
% Last Change: wto lut 02 12:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\mb#1{\mathbb{#1}}
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Dzień pierwszy}
 
\begin{enumerate}
    \item Czy jest możliwy podział zbioru $\left\{ 1,2,\dots,33 \right\}$ na
        jedenaście zbiorów 3-elementowych, tak, że w każdym zbiorze jeden z
        elementów jest równy sumie pozostałych dwóch?
    \item Niech $\triangle ABC$ będzie prostokątny z $\angle ABC = 90\deg$
        oraz $|AB| > |BC|$, niech $\Gamma$ będzie półokręgiem o średnicy $AB$,
        który leży po tej samej stronie $AB$ co punkt $C$. Niech $P$ będzie
        punktem na $\Gamma$, takim, że $|BP| = |BC|$ i niech $Q$ będzie punktem na $AB$ 
        takim, że $|AP| = |AQ|$. Udowodnij, że środek $CQ$ leży na $\Gamma$.
    \item Znajdź wszystkie funkcje $f:\mathbb{Z}_+  \rightarrow  \mathbb{Z}_+$
        spełniające równanie
        $$f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) = 3n$$
        dla wszystkich $n\in \mathbb{Z}_+$.
\end{enumerate}
 
\end{document}
 
 
 
 
 
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
%        File: zadania1.tex
%     Created: wto lut 02 12:00  2010 C
% Last Change: wto lut 02 12:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\mb#1{\mathbb{#1}}
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Dzień pierwszy}
 
\begin{enumerate}
    \item Czy jest możliwy podział zbioru $\left\{ 1,2,\dots,33 \right\}$ na
        jedenaście zbiorów 3-elementowych, tak, że w każdym zbiorze jeden z
        elementów jest równy sumie pozostałych dwóch?
        \rozw
        Taki podział nie jest możliwy.\\
        Załóżmy, że mamy podział, spełniający warunki. Wtedy w każdym zbiorze
        suma liczb jest parzysta, a więc suma wszystkich liczb jest
        parzysta. Suma liczb $1,2,\dots,33$ jest równa $17\cdot 33$, a więc
        jest nieparzysta, sprzeczność.
    \item Niech $\triangle ABC$ będzie prostokątny z $\angle ABC = 90\deg$
        oraz $|AB| > |BC|$, niech $\Gamma$ będzie półokręgiem o średnicy $AB$,
        który leży po tej samej stronie $AB$ co punkt $C$. Niech $P$ będzie
        punktem na $\Gamma$, takim, że $|BP| = |BC|$ i niech $Q$ będzie punktem na $AB$ 
        takim, że $|AP| = |AQ|$. Udowodnij, że środek $CQ$ leży na $\Gamma$.
        \rozw
        Trójkąty $\triangle APQ$ i $\triangle BPC$ są równoramienne oraz
        $$\angle CBP = 90\deg - \angle PBA = \angle PAB$$
        tak więc $\triangle APQ \equiv \triangle BPC$.\\
        W szczególności $\angle APQ = \angle BPC$, a więc
        $$\angle CBQ + \angle QPC = 90\deg + \angle QPB + \angle BPC = 90\deg
        +  \angle QPB + \angle APQ =
        90\deg + \angle APB = 180\deg$$
        Tak więc punkty $B, C, P, Q$ leżą na jednym okręgu, o środku $O$ leżącym w
        połowie boku $CQ$. Obliczam
        $$\angle BOP + \angle PAB = 2\angle BCP + \angle CBP = 180\deg$$
        Punkty $A, P, O, B$ leżą na okręgu o średnicy $AB$, środek
        odcinka $CQ$ leży na okręgu o średnicy $AB$, a skoro leży on po tej
        samej stronie $AB$ co punkt $C$, to leży on na $\Gamma$.
 
    \item Znajdź wszystkie funkcje $f:\mathbb{Z}_+  \rightarrow  \mathbb{Z}_+$
        spełniające równanie
        $$f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) = 3n$$
        dla wszystkich $n\in \mathbb{Z}_+$.
        \rozw
        Dla skrótu złożenie funkcji $f$ $k$ razy będę oznaczać $f^{(k)}$.\\
        Po pierwsze, zauważmy, że funkcja $f$ jest różnowartościowa:
        $$f(n) = f(m)  \Rightarrow 3n = f(n) + f^{(2)}(n) + f^{(3)}(n) = f(m)
        + f^{(2)}(m) + f^{(3)}(m) = 3m$$
        Przez prostą indukcję udowodnię, że $f(k) = k$.\\
        \begin{enumerate}
            \item Dla $k=1$:
                $$3 = f^{(3)}(1) + f^{(2)}(1) + f(1) \geq 1 + 1 + 1$$
                a więc zachodzą równości i $f(1) = 1$.
            \item Krok indukcyjny.\\
                Zauważmy, że $f(k) \geq k$ gdyż $f$ jest różnowartościowa.
                Stąd wynika $f^{(2)}(k) \geq k$, a następnie $f^{(3)}(k) \geq k$.
                $$3k = f(k) + f^{(2)}(k) + f^{(3)}(k) \geq k + k + k$$
                a więc zachodzą równości, w szczególności $f(k) = k$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\end{document}