Klasy charakterystyczne wiązek wektorowych

Wykład monograficzny z ćwiczeniami na Wydziale MIM UW

· Zadania z ćwiczeń i na egzamin

· Literatura i ciekawe dowiązania

· Archiwum

Miejsce i czas

Wydział MIM UW, ul. Banacha 2 (wejście od ul. Pasteura),
Piątek 10:15-13:45, sala 5060

Prowadzący: Agnieszka Bojanowska i Stefan Jackowski

Opis i Program

Z opisu klasycznej książki J.Milnor, J. Stasheff „Characteristic classes” :

„The theory of characteristic classes provides a meeting ground for the various disciplines of differential topology, differential and algebraic geometry, cohomology, and fiber bundle theory. As such, it is a fundamental and an essential tool in the study of differentiable manifolds.”

Wiązki wektorowe to rodziny przestrzeni wektorowych parametryzowane punktami pewnej przestrzeni topologicznej – narzędzie linearyzacji problemów geometrycznych. Najważniejszy przykład: wiązka przestrzeni stycznych do rozmaitości różniczkowej. Klasy charakterystyczne to algebraiczne niezmienniki wiązek należące do grup (ko-)homologii przestrzeni parametrów.

Wykład przeznaczony jest dla studentów zainteresowanych szeroko rozumianymi geometrią i topologią. Zakładana będzie znajomość topologii algebraicznej w zakresie Topologii II lub Topologii Algebraicznej II.

Program

Rzeczywiste i zespolone wiązki wektorowe; przeniesienie konstrukcji z algebry liniowej. Pull-back. Grupa strukturalna wiązki wektorowej. Orientowalność. Metryka Riemanna. Wiązki styczne i normalne. Wiązka kanoniczna.
Klasyfikacja homotopijna wiązek wektorowych. Izomorfizm grupy wiązek 1-wymiarowych i grup kohomologii.
Uogólnione multiplikatywne teorie kohomologii. Tw. Leray-Hirscha. Orientacja wiązek. Równoważność geometrycznej i kohomologicznej definicji orientowalności. Complex oriented cohomology
Aksjomatyczna definicja klas charakterystycznych wiązek.
Konstrukcja klas charakterystycznych Stiefela-Whitneya i Cherna przez zasadę rozszczepiania. Klasy Pontriagina.
Operacje kohomologiczne. Kwadraty Steenroda. Klasy SW przez kwadraty Steenroda. Klasy SW rozmaitości topologicznych.
Teoria przeszkód i interpretacja klas Stiefela-Whitneya i Cherna w tych terminach.
Klasy Cherna w kohomologiach de Rhama (info)
Zastosowania geometryczne klas charakterystycznych: twierdzenia o zanurzaniu rozmaitości w przestrzeń euklidesową; paralelyzowalność orientowalnych, zamkniętych rozmaitości 3-wymiarowych.
Liczby charakterystyczne i genusy. Bordyzm rozmaitości. Twierdzenie Hirzebrucha o sygnaturze. (info)

Materiały

· Skrypt „Notes on fiber bundles and characteristic classes” [final]

· Kozarzewski, Piotr „Struktura CW-kompleksu na rozmaitości Grassmanna” Praca licencjacka 2012

· Wódka, Michał „CW-struktura rozmaitości Stiefla” Praca licencjacka 2012

Zadania egzaminacyjne

Literatura i dowiązania

T. Bauer Characteristic classes in topology, geometry and algebra. KTH June 2015

A.Bojanowska, S.Jackowski Topologia II, skrypt WMIM UW 2009

Robert R. Bruner, Michael Catanzaro, J. Peter May Characteristic classes. 1974

Ralph L. Cohen The Topology of Fiber Bundles. Lecture Notes, Dept. of Mathematics, Stanford University. 1998

E. Dyer, Cohomology theories, Lecture Note Series, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969

A. Hatcher Vector Bundles and K-Theory.

D. Huemoller Fiber Bundles. Third Edition. Graduate Texts in Mathematics 20. Springer 1993

Ib Madsen Lectures on Characteristic Classes in Algebraic Topology. 1986

John Milnor & James D. Stasheff Characteristic Classes. Annals of Mathematics Studies 76, Princeton University Press.

Robert M. Switzer, Algebraic topology— homotopy and homology. Die Grundlehren der math. Wissenschaften, Band 212, Springer-Verlag, Berlin, 1975

Stefan Jackowski

Aktualizacja: 2016-01-19

[Początek] [Miejsce i czas] [Prowadzący] [Program] [Notatki do wykładu] [Zadania na ćwiczenia] [Literatura...]