Topologia Algebraiczna I (Semestr zimowy r. ak. 2012/13)

Wykład fakultatywny na Wydziale MIM UW

Prowadzący, miejsce i czas Program Pomocnik studenta - notatki i zadania O topologii algebraicznej Literatura i dowiązania

Prowadzący, miejsce i czas

Prowadzący:

• Agnieszka Bojanowska Konsultacje: p. 4630, wtorek 15:00-17:00 lub po umówieniu

• Stefan Jackowski Konsultacje: p. 4590, wtorek 15:00-17:00 lub po umówieniu

Miejsce i czas zajęć. Wydział MIM UW, ul.Banacha 2 (wejście od ul. Pasteura),
Wykład i ćwiczenia: środy 14:15-17:45, sala 4060

Tematy wykładów

• Przestrzenie topologiczne pochodzące z geometrii i algebry liniowej (Topological Spaces Related to Linear Algebra)

• Przestrzenie odwzorowań ciągłych. Rola punktu wyróżnionego. [May rozdz. 5] oraz [Strickland CGWH]

• Podstawy teorii kategorii: kategoria, funktor, transformacja naturalna, funktory dołączone; przykłady geometryczne i algebraiczne. Kategoria homotopii przestrzeni topologicznych. [May rozdz. 2]

• Obiekty grupowe i ko-grupowe. Funktory zawieszenia i przestrzeni pętli.

• Korozwłóknienia i rozwłóknienia. Zastosowania do badania homotopijnej równoważności przestrzeni. Przekształcenia lokalnie trywialne. ([May rozdz. 6-7] oraz [Strickland FibCofib])

• Rozkład przekształcenia na superpozycję korozwłóknienia (lub rozwłóknienia) i homotopijnej równoważności.

• Grupy homotopii. Działanie grupy podstawowej na wyższych grupach homotopii. Ciąg dokładny pary i ciąg dokładny homotopii rozwłóknienia Serrre'a.. ([May rozdz. 9])

• CW-kompleksy. Twierdzenie J.H.C. Whiteheada. [May rozdz. 9]

• Elementy topologii różniczkowej. Aproksymacja gładka odwzorowań rozmaitości. Twierdzenie o aproksymacji komórkowej.

• Twierdzenie H. Hopfa o klasyfikacji przekształceń M^k ---> S^n dla k\leq n.

• Twierdzenie o doklejaniu komórki. Przestrzenie z zadanymi grupami homotopii.

• Przestrzenie Eilenberga - MacLane'a.

Pomocnik studenta - notatki i zadania

• 0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7 [Nowa wersja wkrótce!]

• 0.2 Homotopie - podstawowe pojęcia [BJ, rozdz. 4-5] p. też [May rozdz. 1-2]

• 47 zadań na egzamin z Topologii Algebraicznej I - semestr zimowy r.akad. 2012/13 [Dodane 19.01.2013]

O topologii algebraicznej

Topologia algebraiczna jako wyodrębniony dział matematyki liczy niewiele ponad 100 lat. Polega na badaniu własności topologicznych przy pomocy metod algebraicznych, korzysta również z narzędzi analitycznych. Podstawowe pojęcia topologii algebraicznej - homotopii i homologii zostały wprowadzone przez wielkiego matematyka francuskiego Henri Poincare (1854-1912). Poincare uważał, że te idee odegrają fundamentalną rolę w teoriach matematycznych, nawet odległych od geometrii i topologii . Ta wizja sprawdziła się - wyniki i metody topologii algebraicznej wywarły ogromny wpływ na badania matematyczne w XX wieku w wielu dziedzinach. Doskonale ilustruje to lista wybranych matematyków, którzy przyczynili się do rozwoju idei topologii algebraicznej lub ich zastosowań (w nawiasach kraje, w których działali oraz lata najważniejszych prac z tej dziedziny oraz ew. informacja o otrzymaniu medalu Fieldsa):
 

James W. Alexander (USA, 13-36), Salomon Lefschetz (USA, 20-33), Heinz Hopf (D-CH, 26-45), Karol Borsuk (PL, 31-37), Lew Pontrjagin (RUS, 31-50), Eduard Cech (CZ, 32-36), Charles Ehresmann (F, 34-54), Jean Leray (F, 35-50), Witold Hurewicz (PL-NL, 35-55), Hassler Whitney (USA, 35-57), Norman E. Steenrod (USA, 36-62), Hans Freudenthal (NL, 37-39), Samuel Eilenberg (PL-USA, 39-66), George De Rham (CH, 39-50), John H.C. Whitehead (GB, 39-51), Henri Cartan (F, 45-56), Shiing-shen Chern (Chiny-USA, 46-57), Rene Thom (F, 49-54, m. Fieldsa 1958), Jean-Pierre Serre (F, 51-53, m. Fieldsa 1954),

Friedrich Hirzebruch (D, 53-56), Raoul Bott (USA, 54-70), John Milnor (USA, 56-70, m. Fieldsa 1962), Alexander Grothendieck (F, 57, m. Fieldsa 1966), J. Frank Adams (GB, 58-89), Michael F. Atiyah (GB, 59-70, m. Fieldsa 1966), Daniel Quillen (USA, m. Fieldsa 1978), Dennis Sullivan (USA), Stephen Smale (USA, m. Fieldsa 1966), William Browder (USA), Sergei P. Novikov (RUS, m. Fieldsa 1970), Greame Segal (GB, 64-80), Michael Freedman (USA, m. Fieldsa 1986), Simon Donaldson (UK, m. Fieldsa 1986), Vaughan Jones (USA, m. Fieldsa 1990), Vladimir Drinfeld (RUS-USA, m. Fieldsa 1990), Maxim Kontsevich (RUS-F, m. Fieldsa 1998), Vladimir Voyevodsky (RUS-USA, m. Fieldsa 2002).

---

Literatura i dowiązania

• J.F. Adams Algebraic Topology. A student's guide. Cambridge University Press 1972

• A. Bojanowska Notatki do wykładu z Topologii Algebraicznej

• A. Bojanowska, S. Jackowski Topologia 2

• G. Bredon, Topology and Geometry, Springer-Verlag, New York, 1993

• J. Dieudonne A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960 Birkhaeuser 1989

• Allen Hatcher Algebraic Topology

• J.P.May A Concise Course in Algebraic Topology.

• J. W. Milnor, Topologia z różniczkowego punktu widzenia (Topology from the differentiable viewpoint)

• Jesper Michael Moller Algebraic Topology Notes - uzupełnienie do rozdziału 0 książki A. Hatchera

• S.P. Novikov Topologia Algebraiczna (artykuł historyczny, po rosyjsku).

• Neil Strickland Notes on Homotopy Theory

[Początek] [Prowadzący, miejsce i czas] [Tematy wykładów] [Zadania z ćwiczeń] [O topologii...] [Literatura...]