Topologia Algebraiczna II (Semestr letni r. ak. 2012/13)

Wykład fakultatywny na Wydziale MIM UW

Prowadzący, miejsce i czas , Program , Pomocnik studenta - notatki i zadania , O topologii algebraicznej , Literatura i dowiązania

Prowadzący, miejsce i czas

Prowadzący:

• Agnieszka Bojanowska Konsultacje: p. 4630, wtorek 16:00-18:00 lub po umówieniu

• Stefan Jackowski Konsultacje: p. 4590, wtorek 15:00-16:00 lub po umówieniu

Miejsce i czas zajęć. Wydział MIM UW, ul.Banacha 2 (wejście od ul. Pasteura),
Wykład i ćwiczenia: środy, 14:15-18:00 , sala 4060

Pomocnik studenta - notatki i zadania

• 30 zadań egzaminacyjnych [NOWE 11.06]

• Homologiczne własności rozmaitości w zadaniach

• Homologie i kohomologie w zadaniach

• Metoda modeli acyklicznych 1.0

• Kompleksy symplicjalne i zbiory symplicjalne w zadaniach 1.0

  [p. G.Friedman An elementary illustrated introduction to simplicial sets

• Algebra z gradacją i kompleksy łańcuchowe w zadaniach 1.0

• Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

• Rozdział 8: Kohomologie i homologie - perspektywa homotopijna

• Kohomologie de Rhama w zadaniach1.0

Program przedmiotu

• Elementy algebry homologicznej – algebra z gradacją i kompleksy łańcuchowych.

• Zbiory symplicjalne

• Aksjomaty teorii (ko-)homologii na kategorii przestrzeni punktowanych. Długi ciąg dokładny (ko-)homologii; ciąg Meyera-Vietorisa. Uogólniony charakter Cherna.

• Prespektra i wyznaczane przez nie teorie (ko-)homologii.

• Przykłady: Klasyczna teoria kohomologii via przestrzenie Eilenberga - MacLane'a i stabilna teoria (ko-)homotopii. zespolona K-teoria.

• Twierdzenie a la Whitehead o porównywaniu teorii (ko-)homologii dla CW-kompleksów. Obliczanie klasycznych teorii (ko-)homologii CW-kompleksów jako (ko-)homologii komórkowego kompleksu łańcuchowego. Jednoznaczność klasycznych (ko-)homologii o zadanych współczynnikach.

• Obliczenia (ko-)homologii CW-kompleksów. Twierdzenie Hurewicza.

• (Ko-)homologie singularne i symplicjalne.

• Metoda modeli acyklicznych.

• (Ko-)homologie produktu kartezjańskiego przestrzeni – tw. Eilenberga-Zilbera i struktury multyplikatywne w (ko-)homologiach. Tw. Kunnetha o (ko-)homologiach produktu tensorowego kompleksów (ko-)łańcuchowych.

• Algebra kohomologii singularnych. Uogólniony niezmiennik Hopfa.

• Orientowalność rozmaitości ze względu na teorię (ko-)homologii.

• Twierdzenia o dwoistości homologii i kohomologii rozmaitości topologicznych.

• Twierdzenia o rozcinaniu przestrzeni euklidesowych. Obliczenia algebr kohomologii znanych rozmaitości.

• Klasyfikacja homotopijna jednospójnych zamkniętych rozmaitości 4-wymiarowych.

O topologii algebraicznej

Topologia algebraiczna jako wyodrębniony dział matematyki liczy niewiele ponad 100 lat. Polega na badaniu własności topologicznych przy pomocy metod algebraicznych, korzysta również z narzędzi analitycznych. Podstawowe pojęcia topologii algebraicznej - homotopii i homologii zostały wprowadzone przez wielkiego matematyka francuskiego Henri Poincare (1854-1912). Poincare uważał, że te idee odegrają fundamentalną rolę w teoriach matematycznych, nawet odległych od geometrii i topologii . Ta wizja sprawdziła się - wyniki i metody topologii algebraicznej wywarły ogromny wpływ na badania matematyczne w XX wieku w wielu dziedzinach. Doskonale ilustruje to lista wybranych matematyków, którzy przyczynili się do rozwoju idei topologii algebraicznej lub ich zastosowań (w nawiasach kraje, w których działali oraz lata najważniejszych prac z tej dziedziny oraz ew. informacja o otrzymaniu medalu Fieldsa):
 

Literatura i dowiązania

• J.F. Adams Algebraic Topology. A student's guide. Cambridge University Press 1972

• A. Bojanowska Notatki do wykładu z Topologii Algebraicznej

• A. Bojanowska, S. Jackowski Topologia 2

• R.Bott, L.Tu Differential Forms in Algebraic Topology. Springer-Verlag

• G. Bredon, Topology and Geometry, Springer-Verlag, New York, 1993

• J. Dieudonne A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960 Birkhaeuser 1989

• M.J.Greenberg Wykłady z Topologii Algebraicznej. (oryg. Lectures on Algebraic Topology.) PWN 1980

• Allen Hatcher Algebraic Topology

• J.P.May A Concise Course in Algebraic Topology.

• J. W. Milnor, Topologia z różniczkowego punktu widzenia (oryg. Topology from the differentiable viewpoint) PWN

• John Rognes Lecture Notes on Algebraic Topology II [NOWE 07.06.2013]

• E.H. Spanier Topologia Algebraiczna (oryg. Algebraic Topology)

• Strona domowa przedmiotu Topologia Algebraiczna I w roku akad 2011/12.

• 3-manifolds. Wykład Piotra Przytyckiego, Semestr Letni 2011/12.

Inne ciekawe teksty

• M. F. Atiyah Mathematics in the 20th century

• M.J.Hopkins Algebraic Topology and Modular Forms ICM 2002

[Początek] [Prowadzący, miejsce i czas] [Tematy wykładów] [Zadania z ćwiczeń] [O topologii...] [Literatura...]