Course: Topology and algebra of non-periodic tilings   

Instructor: Jacek Miękisz

Time: Mondays 16:15 - 17:45 (first lecture 27 February 2019) MIMUW, Banacha 2

Short description

We will discuss mathematical models of quasicrystals, nonperiodic tilings, ergodic theory of symbolic dynamical systems, 
in particular substitution systems (Fibonacci and Thue-Morse sequences). Our approach will be topological (inverse limits, topological invariants) 
and algebraic (C* algebras and noncommutative geometry).

-----------------------------------------------------------------------

  Topologia i algebra nieokresowych pokryć   

Krótki opis

Zajęcia prowadzone w formie konwersatoryjno-seminaryjnej będą poświęcone matematycznej teorii kwazikryształów, nieokresowym pokryciom płaszczyzny, 
teorii ergodycznej symbolicznych układów dynamicznych, w szczególności układów podstawieniowych (ciągi Fibonacciego i Thue-Morse’a). 
Przedstawione zostanie podejście topologiczne (granice odwrotne, topologiczne niezmienniki) i algebraiczne (algebry C* i geometria nieprzemienna). 

Pełny opis

Zajęcia będą prowadzone w formie konwersatoryjno-seminaryjnej. W pierwszym miesiącu odbędą się wykłady wprowadzające do matematycznej teorii kwazikryształów, 
nieokresowych pokryć płaszczyzny, teorii ergodycznej symbolicznych układów dynamicznych, w szczególności układów podstawieniowych (ciągi Fibonacciego i Thue-Morse’a). 
Przedstawione zostanie też podejście topologiczne (granice odwrotne, topologiczne niezmienniki) i algebraiczne (algebry C* i geometria nieprzemienna) 
do badania takich układów Następnie rozdana zostanie literatura. Uczestnicy zajęć zostaną poproszeni  o zaprezentowanie przeczytanego materiału 
(możliwość pracy w grupach dwuosobowych) Podczas ich wystąpień wspólnie zastanowimy się nad ewentualnymi problemami i niejasnościami.  

Nie zakładam wiedzy wychodzącej poza obowiązkowe wykłady ze studiów licencjackich. Specjaliści z topologii i geometrii nieprzemiennej są mile widziani. 
Będą mieli okazję zapoznać się z zastosowaniem formalizmu matematycznego w konkretnych przykładach.  

Ocena na podstawie referatu i krótkiego raportu pisemnego

Tematyka wykładu

1. Od Hilberta do Shechtmana - ogólne wprowadzenie do matematyki kwazikryształów.

2. Pokrycia Robinsona – ogólne własności

3. Ergodyczne układy dynamiczne skończonego typu.

4. Układy podstawieniowe, ciągi Thue-Morse’a i Fibonacciego

5. Klasyczne gazy sieciowe, miary Gibbsa
 
6. Przestrzenie pokryć, niezmienniki topologiczne, granice odwrotne.

7. Algebry C* i geometria nieprzemienna


Literatura

1. Lorenzo Sadun, Topology of Tiling Spaces (University Lecture Series vol.46) 
    American Mathematical Society; New ed. edition (October 3, 2008).

2. Lorenzo Sadun, Tilings, tiling spaces and topology, Philosophical Magazine 86: 875-881 (2006).  pdf 

3. Johannes  Kellendonk and Ian F. Putnam,  Tilings, C*-algebras and K-theory in Directions in Mathematical Quasicrystals, 
M. Baake and R.V. Moody, editors, CRM Monograph Series, American Mathematical Society, Providence, R.I., 2000.  pdf 

4. Jared E. Anderson and  Ian F. Putnam, Topological invariants for substitution tilings and their C*-algebras, 
Ergodic Theory and Dynamical Systems 18: 509-537 (1998).  pdf 

5. Alain Connes, Noncomutative Geometry, Chapter 2.3.  Academic Press (1994).