Materiały.
Kolokwium 4. grudnia.
- Czas pisania: 15-17.
- Osoby o nazwiskach od A do F piszą w sali 3220.
- Osoby o nazwiskach od G do Ł piszą w sali 3240.
- Osoby o nazwiskach od M do R piszą w sali 3250.
- Osoby o nazwiskach od S do Z piszą w sali 3260.
Zadania będą podobne, i o ile nie wskazano inaczej, nie trudniejsze niż, następujące zadania.
- Zadanie 1. Oblicz całkę \(\int_{-\infty}^\infty\frac{x\sin x}{(x^2+2x+2)^2} dx\).
- Aby zadanie zostało zaliczone, rozwiązanie musi zawierać następujące elementy
- Zapisanie całki jako całki z funkcji zespolonej, np. $\operatorname{Im}\lim_{R\to\infty} \int_{-R}^R\frac{z e^{iz}}{(z^2+2z+2)^2}dz$. (Ten element jest istotny, ale
nie wymaga szczegółowych wyjaśnień, o ile jest wykonan poprawnie)
- Domknięcie krzywej całkowania do krzywej zamkniętej, na przykład poprzez dodanie konturu $\gamma = Re^{it}$, $t\in[0,\pi]$.
- Wyszacowanie całki po $\gamma$ przy $R\to\infty$ (ten element ma istotne znaczenie).
- Obliczenie całki po konturze zamkniętym ze wzoru Cauchy'ego albo twierdzenia o residuach.
- Zadanie 2. Znajdź liczbę pierwiastków funkcji $f(z)=e^z+2z^5+7z+1$ w pierścieniu \(1< |z| <2\). trudność tego zadania może się obniżyć
- Przykładowe rozwiązanie
- Na okręgu o promieniu $2$, $2|z|^5=32$, $|e^z||e^z+7z+1$. Z twierdzenia Rouche, funkcja ma tyle samo
pierwiastków co $2z^5$ w kole, a to jest $5$.
- Na okręgu o promieniu $1$, $7|z|>|e^z+2z^5+1|$, więc funkcja $f(z)$ ma tyle pierwiastków w kole jednostkowym co funkcja $7z$, czyli jeden.
- Odpowiedź: $5-1=4$ pierwiastki.
- Zadanie 3. (zadanie niewymagane na ocenę dostateczną, możliwe jest obniżenie trudności zadania, niemniej na pewno zadanie z zasady identyczności będzie zawierało abstrakcyjną funkcję $f$ i do zadanie 3 będzie należało jakoś zasady identyczności użyć). Funkcja meromorficzna $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ przyjmuje wartości $0$ dla wszystkich $n\in\mathbb{Z}$, oraz
$|f(z)|<1$ dla $|z|>1$. Wykaż, że $f$ jest stale równa zero. Wskazówka: rozważ $g(z)=f(1/z)$.
- Przykładowe rozwiązanie:
- Funkcja $g$ jest holomorficzna w kole jednostkowym bez punktu $0$ i ograniczona w tym kole przez $1$. Z twierdzenia o usuwaniu osobliwości $g$ przedłuża się
na koło jednostkowe.
- Jako, że $f(n)=0$, $g(1/n)=0$, a więc $g$ zeruje się na zbiorze mającym punkt skupienia. Stąd $g$ jest tożsamościowo zero, czyli $f$ też.
- Uwaga! Powyższy szkic zawiera wszystkie trudności zadania. Formaliści mogliby wprowadzić $S$ jako zbiór biegunów $f$, powiedzieć, że $S'=\{1/s\colon s\in S\}$
jest zbiorem biegunów $g$, wtedy $g$ jest stale równa zero poza $S'$, $f$ jest stale równa zero poza $S$, a $f$ jest stale równa zero na całej płaszczyźnie. Ta część argumentacji jest niekonieczna do tego, aby zadanie było zaliczone.
- Zadanie 4. (zadanie na ocenę co najmniej dobrą). Przypuśćmy, że $f$ jest całkowita i istnieją $R,n,C>0$, takie, że dla $|z|>R$ zachodzi $|f(z)|< C |z|^n $. Wykaż, że
$f$ jest wielomianem.
- Przykładowe rozwiązanie: ze wzoru całkowego Cauchy'ego dla pochodnych wykazujemy, że $f^{(m)}(z)=0$ dla wszystkich $m>n$.
Lista zagadnień na egzamin ustny.