Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zadanka.tex
%     Created: Fri Oct 11 12:00 AM 2013 C
% Last Change: Fri Oct 11 12:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
    %\vspace*{-1.5cm}
    \stepcounter{section}%
    \begin{center}%
        \begin{minipage}{2.5cm}
            \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
        \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
            \begin{center}
                {\Huge \bfseries \center #1}
 
                \vskip 1mm
                \small \normalfont \sc
                \author{}\\
                \date{}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}
    \HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
    \vskip 3mm
    \noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
    \stepcounter{problem}
    \vskip 3mm
    \noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
    {
 
    }
 
    \pagestyle{empty}
 
    \def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
    \renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
    \renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
    \renewcommand{\leq}{\leqslant}
    \renewcommand{\geq}{\geqslant}
    \renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
    \def\sectionwidth{6cm}
    \def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
    \def\author{kółko I~LO Białystok}
    \def\date{11 października 2013}
    \begin{document}
    \section{Sieknijmy!}
 
\noindent\begin{minipage}{10.5cm}
    \begin{problem}[Twierdzenie o~siecznych]
        Dany jest okrąg $o$ o~środku $O$ i~promieniu $R$ oraz~punkt $P$. Jeżeli prosta $l$ przechodzi przez $P$
        i~przecina okrąg $o$ w~(niekoniecznie różnych) punktach $A$ i~$B$, to
        iloczyn $|PA| \cdot |PB|$ nie zależy od wyboru $l$, a~dokładniej
        \[
        |PA| \cdot |PB| = \abs{|PO|^{2} - R^2}.
        \]
    \end{problem}
\end{minipage}\begin{minipage}{5cm}
        \includegraphics[origin=c]{pow_in}
\end{minipage}
 
\begin{problem}
    Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$.
    Punkt $D$ jest rzutem $A$ na $BC$, zaś punkt $E$ jest rzutem $B$ na $AC$.
    Uzasadnij, że $CE\cdot CA = CD\cdot CB$. Punkt $H$ jest punktem przecięcia
    wysokości $ \triangle ABC$. Które z~liczb
    \[ DH\cdot HA,\quad AH\cdot AD,\quad AE\cdot CA,\quad EH \cdot BH,\] są równe?
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Punkt $P$ leży na przecięciu stycznych wypuszczonych z~punktów $A$ i~$B$
    leżących na okręgu o~środku w~$O$. Punkt $K$ jest środkiem odcinka $AB$.
    Uzasadnij, że zachodzi $PA^2 = PK\cdot
    PO$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Dane są okręgi $O_1, O_2$, przecinające się w punktach $A,B$.
    Punkt $P$ leży na prostej $AB$, proste $PX$, $PY$ są styczne do
    $O_1$, $O_2$ odpowiednio. Uzasadnić, że $\angle PXY = \angle PYX$.
\end{problem}
 
\begin{problem}[Kryterium współokręgowości]
    Jeżeli punkty $S,A,B$ oraz $S, C, D$ leżą odpowiednio na
    dwu półprostych o~początku w~$S$ to $A, B, C, D$ leżą na jednym okręgu
    wtedy i~tylko wtedy, gdy $SA\cdot SB = SC \cdot SD$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Punkty $E, F$ leżą na bokach $AC, AB$ trójkąta $ABC$ odpowiednio.
    Odcinki $BE$ i $CF$ przecinają się w $M$ i zachodzi $MB\cdot ME=MC\cdot MF$.
    Udowodnij, że zachodzi $AE\cdot AC=AF\cdot AB$.
\end{problem}
 
\begin{problem}[$\star$]
    Dane są okręgi $o_1, o_2$ przecinające się w~dwóch punktach leżących na
    prostej $m$ oraz punkt $P$. Półproste $k$ i~$l$
    mają początek w~$P$ i przecinają: $k$ okrąg $o_1$ w~$A, B$, zaś $l$
    okrąg $o_2$ w~$C$, $D$ (punkty $A, B, C, D$ są parami różne). Udowodnić,
    że na czworokącie $ABCD$ da się opisać okrąg
    wtedy i~tylko wtedy, gdy $P$ leży na prostej $m$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Punkt $P$ leży wewnątrz nierównoramiennego trójkąta $ABC$. Proste $AP, BP,
    CP$ przecinają okrąg opisany w~punktach $D, E, F$ (przy czym $D\neq A,
    E\neq B,F\neq C$). Styczna do okręgu opisanego w~punkcie $C$ przecina $AB$
    w~punkcie $S$ takim, że $CS = SP$. Uzasadnij, że $SP$ jest styczną do
    okręgu opisanego na $ \triangle ABP$ oraz że $FD = FE$.
\end{problem}
 
\end{document}
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
%        File: zadanka.tex
%     Created: Fri Oct 11 12:00 AM 2013 C
% Last Change: Fri Oct 11 12:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=26cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
%\usepackage{multline}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
    %\vspace*{-1.5cm}
    \stepcounter{section}%
    \begin{center}%
        \begin{minipage}{2.5cm}
            \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
        \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
            \begin{center}
                {\Huge \bfseries \center #1}
 
                \vskip 1mm
                \small \normalfont \sc
                \author{}\\
                \date{}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}
    \HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
    \vskip 3mm
    \noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
    \stepcounter{problem}
    \vskip 3mm
    \noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
    {
 
    }
 
    \pagestyle{empty}
 
    \def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
    \renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
    \renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
    \renewcommand{\leq}{\leqslant}
    \renewcommand{\geq}{\geqslant}
    \renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
    \def\sectionwidth{6cm}
    \def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
    \def\author{kółko I~LO Białystok}
    \def\date{11 października 2013}
    \begin{document}
    \section{Sieknijmy!\\\large rozwiązania}
 
\noindent\begin{minipage}{10.5cm}
    \begin{problem}[Twierdzenie o~siecznych]
        Dany jest okrąg $o$ o~środku $O$ i~promieniu $R$ oraz~punkt $P$. Jeżeli prosta $l$ przechodzi przez $P$
        i~przecina okrąg $o$ w~(niekoniecznie różnych) punktach $A$ i~$B$, to
        iloczyn $|PA| \cdot |PB|$ nie zależy od wyboru $l$, a~dokładniej
        \[
        |PA| \cdot |PB| = \abs{|PO|^{2} - R^2}.
        \]
    \end{problem}
\end{minipage}\begin{minipage}{5cm}
        \includegraphics[origin=c]{pow_in}
\end{minipage}
 
\begin{problem}
    Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$.
    Punkt $D$ jest rzutem $A$ na $BC$, zaś punkt $E$ jest rzutem $B$ na $AC$.
    Uzasadnij, że $CE\cdot CA = CD\cdot CB$. Punkt $H$ jest punktem przecięcia
    wysokości $ \triangle ABC$. Które z~liczb
    \[ DH\cdot HA,\quad AH\cdot AD,\quad AE\cdot CA,\quad EH \cdot BH,\] są równe?
\end{problem}
 
\begin{sol}
    Skoro $ \triangle ABC$ jest ostrokątny, to $DH < AD$, stąd $DH\cdot HA <
    AH\cdot AD$. Pokażemy, że $DH\cdot HA = EH\cdot HB$ oraz $AH\cdot AD =
    AE\cdot CA$, będą to więc jedyne równości.
 
    Skoro $ \angle ADB =  \angle BEA = 90^\circ$, to na czworokącie $ABDE$ da
    się opisać okrąg. Przekątne $AD$ i~$BE$ przecinają się w~$H$, więc
    $AH\cdot HD = HE\cdot HB$ z~twierdzenia o~siecznych.
 
    Podobnie, $ \angle HDC =  \angle HEC = 90^\circ$, więc punkty $H, D, C, E$ leżą na
    jednym okręgu. Z~twierdzenia
    o~siecznych mamy $AE\cdot AC = AH \cdot AD$.
\end{sol}
 
\begin{problem}
    Punkt $P$ leży na przecięciu stycznych wypuszczonych z~punktów $A$ i~$B$
    leżących na okręgu o~środku w~$O$. Punkt $K$ jest środkiem odcinka $AB$.
    Uzasadnij, że zachodzi $PA^2 = PK\cdot
    PO$.
\end{problem}
 
\begin{sol}
    Skoro $K$ jest środkiem cięciwy $AB$, to $OK\perp AB$, czyli $ \angle AKO
    = 90^\circ$ i~środek okręgu opisanego na $ \triangle AKO$ leży na $AO$.
    Wobec tego $PA$ jest styczną do tego okręgu i~z~twierdzenia o~siecznych
    (a~konkretniej o~siecznej i~stycznej)
    mamy $PA^2 = PK\cdot PO$.
\end{sol}
 
\begin{problem}
    Dane są okręgi $O_1, O_2$, przecinające się w punktach $A,B$.
    Punkt $P$ leży na prostej $AB$, proste $PX$, $PY$ są styczne do
    $O_1$, $O_2$ odpowiednio. Uzasadnić, że $\angle PXY = \angle PYX$.
\end{problem}
 
         \begin{sol}
             Skoro punkt
             $P$ leży na $AB$ to
            \[
                PX^2 = PA\cdot PB = PY^2,
            \]
             stąd $|PX|^2 =
             |PY|^2$, $|PX| = |PY|$, więc trójkąt $PXY$ jest równoramienny, co
             kończy dowód.
         \end{sol}
 
\begin{problem}[Kryterium współokręgowości]
    Jeżeli punkty $S,A,B$ oraz $S, C, D$ leżą odpowiednio na
    dwu półprostych o~początku w~$S$ to $A, B, C, D$ leżą na jednym okręgu
    wtedy i~tylko wtedy, gdy $SA\cdot SB = SC \cdot SD$.
\end{problem}
 
        \begin{sol}
 
            ``wtedy''.
 
            Jeżeli $A, B, C, D$ leżą na jednym okręgu, to $|SA|\cdot |SB| =
            |SC| \cdot |SD|$.
 
            ``tylko wtedy''.
 
            Załóżmy zatem, że $|SA|\cdot |SB| =
            |SC| \cdot |SD|$. Okrąg opisany na $A, B, C$ przecina półprostą
            $SC$ w~punkcie $D'$ (gdy jest on styczny przyjmujemy $D' = C$).
            Korzystając z~implikacji ``wtedy'' obliczamy $|SA|\cdot |SB| =
            |SC| \cdot |SD|$.
 
            Łącznie $|SC|\cdot |SD| = |SA|\cdot |SB| = |SC| \cdot |SD'|$,
            czyli $|SD| = |SD'|$, $D = D'$.
        \end{sol}
 
\begin{problem}
    Punkty $E, F$ leżą na bokach $AC, AB$ trójkąta $ABC$ odpowiednio.
    Odcinki $BE$ i $CF$ przecinają się w $M$ i zachodzi $MB\cdot ME=MC\cdot MF$.
    Udowodnij, że zachodzi $AE\cdot AC=AF\cdot AB$.
\end{problem}
 
\begin{sol}
    Skoro $MB\cdot ME=MC\cdot MF$ to (z~powyższego kryterium) $B, E, C, F$ leżą na jednym
    okręgu $o$, a~skoro tak to $AE\cdot AC = AF\cdot AB$.
\end{sol}
 
\begin{problem}[$\star$]
    Dane są okręgi $o_1, o_2$ przecinające się w~dwóch punktach leżących na
    prostej $m$ oraz punkt $P$. Półproste $k$ i~$l$
    mają początek w~$P$ i przecinają: $k$ okrąg $o_1$ w~$A, B$, zaś $l$
    okrąg $o_2$ w~$C$, $D$ (punkty $A, B, C, D$ są parami różne). Udowodnić,
    że na czworokącie $ABCD$ da się opisać okrąg
    wtedy i~tylko wtedy, gdy $P$ leży na prostej $m$.
\end{problem}
 
\begin{sol}
    Oznaczmy punkty przecięcia przez $X, Y$.
    Jeżeli $P$ leży na $XY$, to $PA\cdot PB = PX\cdot PY = PC\cdot PD$
    z~twierdzenia o~siecznych dla $o_1, o_2$.
 
    Jeżeli zaś $PA\cdot PB = PC\cdot PD$, to oznaczamy przez $Y'$ drugi punkt
    przecięcia prostej $PX$ z~$o_1$. Wtedy $PX\cdot PY' = PA \cdot PB =
    PC\cdot PD$, więc $C, D, X, Y'$ leżą na jednym okręgu~--- $o_2$. Skoro
    tak, to $Y'$ leży na $o_1$ i~$o_2$, więc $Y' = Y$.
 
    \emph{Uwaga: jest tutaj nieco niewyjaśnionych delikatności, np. dlaczego $Y' \neq X$?}
\end{sol}
 
\begin{problem}
    Punkt $P$ leży wewnątrz nierównoramiennego trójkąta $ABC$. Proste $AP, BP,
    CP$ przecinają okrąg opisany w~punktach $D, E, F$ (przy czym $D\neq A,
    E\neq B,F\neq C$). Styczna do okręgu opisanego w~punkcie $C$ przecina $AB$
    w~punkcie $S$ takim, że $CS = SP$. Uzasadnij, że $SP$ jest styczną do
    okręgu opisanego na $ \triangle ABP$ oraz że $FD = FE$.
\end{problem}
 
\begin{sol}
 
    \begin{minipage}{8cm}
        Skoro $SC$ jest styczną to $SC^2 = SA\cdot SB$. Wobec tego również $SP^2
        = SA\cdot SB$. Oznaczmy drugi punkt przecięcia prostej $SP$ z~okręgiem
        opisanym na $ \triangle ABP$ jako $P'$. Wtedy $SP\cdot SP' = SA\cdot
        SB = SP^2$, czyli $P' = P$ i~jest $SP$ jest styczną.
 
        Aby udowodnić, że $FD = FE$ wystarczy (i~potrzeba) wykazać, że styczna
        do okręgu opisanego na $ \triangle ABC$ w~punkcie $F$ jest równoległa do $ED$.
        Udowodnimy, że obydwie te proste są równoległe do $PS$.
 
        Dla uproszczenia zapisu niech $S'$ leży na $PS$ po innej stronie $P$
        niż $S$.
        Mamy, używając twierdzenia o~kącie wpisanym i~dopisanym $ \angle BED =  \angle BAD =  \angle BPS'$, stąd $PS' \parallel DE$.
 
        Oznaczmy przez $F'$ punkt na stycznej do $F$ leżący ,,po przeciwnej
        stronie niż $B$''.
        Obliczamy
        \begin{multline*}\angle F'FC =  \angle F'FA +  \angle AFC = \\  \angle FCA +
            \angle ACS =  \angle SCP =  \angle SPC,\end{multline*}
    \end{minipage}\begin{minipage}{8cm}
        \includegraphics{zad8}
    \end{minipage}
        gdzie stosujemy twierdzenie o~kącie wpisanym i~dopisanym oraz,
        w~ostatnim przejściu, założenie $SC = SP$. Wobec powyższej równości mamy
        $PS \parallel FF'$, co kończy dowód.
 
        \emph{Wszystkie powyższe triki ze styczną da się przepisać na kąty.
        Ale po namyśle uważam, że nie ma najmniejszych szans zobaczyć tych
        kątów bez
        dobrego rysunku :) I~to dlatego zadanie było trudne\dots}
 
\end{sol}
 
\end{document}