Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Sun Oct 09 02:00 PM 2011 C
% Last Change: Sun Oct 09 02:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
%\def\labelproblem{\theproblem}
\def\labelproblem{\sectionID{}\theproblem{}}
 
\newcounter{problem}[subsection]
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 1mm
\noindent{\textbf{\textsc{ #1 } \labelproblem}}\par}
{\hfill\par}
 
\def\source#1{\\Źródło: #1}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{11 października 2011}
\begin{document}
\section{Kombinatoryka 2}
 
\subsection{Zadania dla młodszych}
\def\sectionID{M}
 
\emph{Inspiracja do zadań pochodzi ze strony \texttt{\normalfont www.omg.edu.pl}.}
 
\begin{problem}
    Każdy punkt płaszczyzny został pomalowany jednym z~dwóch kolorów. Wykaż, że
    istnieją na tej płaszczyźnie dwa punkty o~takim samym kolorze odległe o~$2011cm$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Każdy punkt płaszczyzny został pomalowany jednym z~dwóch kolorów, przy
    czym istnieją na tej płaszczyźnie punkty różnych kolorów. Wykaż, że
    istnieją na tej płaszczyźnie dwa punkty różnych kolorów odległe o~$2011cm$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    W~pokoju znajduje się $2011$ osób, z~których niektóre znają się wzajemnie.
    Udowodnić, że można znaleźć dwie osoby mające tyle samo znajomych.
 
    \emph{Wskazówka: dowód przez zaprzeczenie.}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Wybrano $2^{10}$ różnych liczb całkowitych dodatnich nie przekraczających
    $2011$. Udowodnij, że istnieją wśród nich liczby różniące się o~$7$. Dla
    jakich innych liczb oprócz $7$ umiesz udowodnić istnienie takich liczb?
\end{problem}
 
\subsection{Zadania dla starszych}
\def\sectionID{S}
 
\begin{problem}
    Sześć okręgów na punkt wspólny. Udowodnij, że co najmniej jeden ze środków
    tych okręgów leży na brzegu lub wewnątrz innego okręgu.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Dany jest ciąg $2010$ liczb
    \[T=\left(0, 1, ,\dots, 2009\right).\]
 
    Możemy wybrać z~tego ciągu dwa dowolne elementy, pomniejszyć jeden
    z~nich o~$1$ oraz powiększyć drugi o~$1$. Czy wielokrotnie tak
    postępując możemy dojść do ciągu, którego wszystkie elementy dają taką
    samą resztę z~dzielenia przez $2010$?
\end{problem}
 
\begin{problem}
    \begin{minipage}{10cm}
 
        Na tablicy napisano liczby $1, 2, 4, 5$. Operacja polega na wybraniu dwóch
        liczb $a$ i~$b$~--- spośród napisanych na tablicy~--- i~zastąpieniu ich
        liczbami $\frac{a+b}{\sqrt{2}}, \frac{a-b}{\sqrt{2}}$.
 
        Udowodnij, że za
        pomocą takich operacji nie można otrzymać na tablicy liczb $1,
        2\sqrt{2}, 3, 4\sqrt{2}$.
    \end{minipage}\begin{minipage}[<+tb+>]{1cm}
        \mbox{}
    \end{minipage}\begin{minipage}[<+tb+>]{4cm}
        \includegraphics{obrot}
    \end{minipage}
 
    \emph{Zadanie z~$\star$: domyślić się, ocb z~rysunkiem.}
\end{problem}
 
\end{document}