|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: tresc.tex
% Created: Wed Feb 23 11:00 PM 2011 C
% Last Change: Wed Feb 23 11:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{fact}[thm]{Obserwacja}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\include{style}
\begin{document}
\section{Pooemowe kółko}
\def\i{\mathbf{i}}
\def\cc #1{\overline{#1}}
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\subsection{Trochę teorii}
\begin{enumerate}
\item \begin{defn}[Liczba zespolona] Liczba zespolona to liczba postaci
\[z = a + b\i\]
gdzie $a,b$ rzeczywiste, a $\i$ to jednostka urojona, spełniająca $\i^2 = -1$. Liczbę $a$ nazywamy \emph{częścią rzeczywistą} $z$ i oznaczamy $\Re z$, liczbę $b$ nazywamy \emph{częścią urojoną} $z$ i oznaczamy $\Im z$ (oznaczenia od ang. Real and Imaginary).
\end{defn}
\item Mówimy, że liczba zespolona jest \emph{rzeczywista}, jeżeli $b=0$ a \emph{czysta}, albo \emph{urojona}, jeśli $a=0$.
\item Na liczbach zespolonych określamy działania:
\[ (a+b\i) + (c+d\i) = (a+c)+(b+d)\i \]
\[ -(a+b\i) = -a - b\i \]
\[ (a+b\i)(c+d\i) = ac+ad\i +bc\i+ bd\i^2 = (ac-bd) + (ad+bc)\i \]
\[ \frac{1}{a+b\i} = \frac{a-b\i}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} -\frac{b}{a^2 + b^2}\i \]
Mnożenie jest przemienne i w ogóle wszystko jest ``normalne''.
\item \begin{defn}[Sprzężenie] Dla $z = a + b\i$ liczbę
\[ a - b\i \]
nazywamy \emph{sprzężeniem} $z$ i oznaczamy $\cc{z}$. Operacja $z
\rightarrow \cc{z}$ to odbicie względem osi $OY$, nic dziwnego więc,
że gra ona dobrze z~dodawaniem i~mnożeniem:
\[ \cc{a\pm b} = \cc{a} \pm \cc{b},\ \ \ \cc{ab}=\cc{a}\cc{b},\ \ \ \cc{1/a} = 1/\cc{a} \]
\end{defn}
\item \begin{defn}[Moduł] Liczbę (rzeczywistą!) $\sqrt{a^2 + b^2}$ nazywamy \emph{modułem} liczby $z$ i oznaczamy $|z|$; liczba $\cc{z}$ ma taki sam moduł: $a^2 +b^2 = a^2 + (-b)^2$. Ponadto zachodzi
\[ z\cc{z} = |z|^2 \]
Moduł jest interpretowany, podobnie jak wartość bezwzględna
w~$\mathbb{R}$, jako odległość od $0$.
\end{defn}
\item \begin{fact}[Interpretacja geometryczna] Liczbę zespoloną $a+b\i$ możemy utożsamiać z punktem płaszczyzny $(a,b)$, łatwo wtedy widać, że $|z|$ jest odległością od $0$ tej liczby. Niech $\alpha$ będzie kątem pomiędzy osią $OX$ o prostą przechodzącą przez $(0,0)$ i $(x,y)$. Wtedy
\[ z = |z|(\cos \alpha + \i\sin\alpha) \]
\end{fact}
\item \begin{thm}[Podstawowa metoda]
Pomijając warstwę formalną, liczby zespolone zadają nam mnożenie
punktów płaszczyzny, więc dodatkową operację, sprawiającą, że
wiele przekształceń, zwłaszcza obroty, daje się zapisać
``naturalniej'' przez mnożenie.
\end{thm}
\end{enumerate}
\subsection{Techniczne}
\begin{enumerate}
\item* Udowodnij, że $|z|=0$ wtedy i~tylko wtedy, gdy $z=0$ (tylko $0$ jest
w~odległości $0$ od $0$ $\ddot\smile$).
\item* Znajdź wszystkie liczby zespolone $z$ takie, że $z=\cc{z}$ i wszystkie takie, że $z=-\cc{z}$.
\item* Stwierdź, jaką figurę opisuje równanie $|z-r| = s$, dla $r,s$ ustalonych, $s$ rzeczywistego dodatniego.
\item* Udowodnij
\begin{thm}[Wzór de Moivre]
\[
(\cos \alpha + \i \sin \alpha)(\cos \beta + \i \sin \beta) = \cos
(\alpha + \beta) + \i \sin(\alpha + \beta).
\]
\end{thm}
\item* Uzasadnij, że przekształcenie $z \rightarrow (\cos \alpha + \i \sin
\alpha)z$ to obrót o~kąt $\alpha$ wokół $0$. Jak zapisać wzorem obrót wokół
dowolnego punktu?
\end{enumerate}
\subsection{Geometryczne}
\begin{enumerate}
\item*
\begin{problem}
Załóżmy, że liczby $a,b\in \mathbb{C}$ leżą na okręgu
jednostkowym. Pokazać, że
\begin{enumerate}
\item Punkt $\frac{a+b}{2}$ to środek odcinka $ab$,
\item Punkt $\sqrt{ab}$ to środek łuku $\arc{ }ab$,
\item Punkt $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ to punkt
przecięcia stycznych do okręgu jednostkowego w~$a$ i~$b$.
\end{enumerate}
\end{problem}
\item*
\begin{problem}
Na bokach $AC$ i~$BC$ trójkąta $ \triangle ABC$ wybudowano, po
zewnętrznej stronie, trójkąty prostokątne równoramienne
$\triangle ACY$ i~$ \triangle BCX$ (katy proste przy wierzchołkach
$X$, $Y$). Uzasadnić, że punkt $M$~---
środek boku $AB$ oraz punkty $X, Y$ tworzą trójkąt prostokątny
równoramienny.
\end{problem}
\item* \begin{problem}
Na bokach trójkąta $ \triangle ABC$, po zewnętrznej stronie, zbudowano
trójkąty równoboczne $ \triangle BCX$, $\triangle CAY$, $\triangle
ABZ$. Udowodnić, że środki ciężkości tych trójkątów tworzą trójkąt
równoboczny.
\end{problem}
\item*
\begin{problem}
Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$. Na jego bokach zbudowano, po
zewnętrznej stronie, trójkąty prostokątne równoramienne $ \triangle
ABP, \triangle BCQ, \triangle CDR$ i~$\triangle DAS$ o~kątach
prostych odpowiednio przy wierzchołkach $P, Q, R, S$. Wykazać, że
odcinki $PR$ i~$QS$ są prostopadłe i~równej długości.
\end{problem}
\item*
\begin{problem}
Punkt $P$ leży wewnątrz czworokąta wypukłego $ABCD$, przy czym
trójkąty $BCP$ i~$DAP$ są równoboczne. Na bokach $AB$ i~$CD$ tego
czworokąta zbudowano, po jego wewnętrznej stronie, trójkąty
równoboczne $ABK$ i~$CDL$. Wykazać, że środki ciężkości trójkątów
$ABK$ i~$CDL$ pokrywają się.
\end{problem}
\end{enumerate}
\end{document}
|
