Użytkownicy online
Naszą witrynę przegląda teraz 2 gości| I skrypt z pierścieni |
 |
 |
 |
| Zadania II |
| Wpisany przez Joachim Jelisiejew |
| środa, 30 czerwca 2010 21:37 |
|
Skrypt z pierwszego kółka o pierścieniach -- sama teoria.
Źródło skryptu w texu. % File: skrypt.tex % Created: wto cze 29 02:00 2010 C % Last Change: wto cze 29 02:00 2010 C \documentclass[10pt]{article} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \textwidth 16cm \textheight 24cm \oddsidemargin 0cm \topmargin 0pt \headheight 0pt \headsep 0pt \usepackage[polish]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{import} \usepackage{graphics} %\usepackage{MnSymbol} % ---------------------------------------------------------------- \vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small \hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small % THEOREMS ------------------------------------------------------- \newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section] \newtheorem{cor}[thm]{Wniosek} \newtheorem{lem}[thm]{Lemat} \newtheorem{defn}[thm]{Definicja} \newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość} \newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza} \newtheorem{useless}[thm]{} \def\Vrule{\smash{\vrule height7pt depth\baselineskip}} \def\Varule{\smash{\vrule height7pt depth3pt}} \def\Hrule #1{\Squeeze\multispan#1\hrulefill} \def\CompressMatrices{\ifmmode \def\quad{\hskip.5em\relax}\fi} \def\Squeeze{\noalign{\vskip-.5\baselineskip}} \def\rk{\operatorname {rank}} \def\lin{\operatorname {lin}} \def\dim{\operatorname{dim}} \def\ker{\operatorname{ker}} \def\det{\operatorname{det}} \def\im{\operatorname{im}} \def\id{\operatorname{id}} \def\Re{\operatorname{Re}} \def\Im{\operatorname{Im}} \def\dist{\operatorname{dist}} \def\Abs #1{\left\vert #1\right\vert} \def\Norm #1{\left\Vert #1\right\Vert} \def\cc #1{\overline{#1}} \def\ip#1#2{\langle #1,#2 \rangle} \def\dist{\operatorname{dist}} \def\ideal{\lhd} \def\lideal{<_l} \def\rideal{<_r} \def\rann#1#2{\operatorname{r{.}ann}_{#1}(#2)} \def\lann#1#2{\operatorname{l{.}ann}_{#1}(#2)} \def\ann#1#2{\operatorname{ann}_{#1}(#2)} \def\mattwo#1#2#3#4{\left[\begin{array}{c c}#1 & #2 \\ #3 & #4\\\end{array}\right]} \newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}} {\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par} \newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{ \noindent\textsc{#1}} {\hfill\par} \newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\} {\hfill\par} \def\deg{^{\circ}} \subimport{../}{style} \begin{document} \renewcommand{\thethm}{} \section{``Dziewięć dla śmiertelników''} \begin{minipage}{16cm} % \includegraphics[width=16cm]{Algebraicsky.png} \includegraphics{Algebraicsky.png} \end{minipage} \begin{center}\emph{Algebraiczne niebo. Pierwiastki zespolone wielomianów o współczynnikach całkowitych.}\end{center} \textbf{Uwaga:} W całym skrypcie rzeczy intuicyjne i objaśnienia pisane są \emph{italikami} (ale również treści definicji, twierdzeń i lematów są pisane italikami -- nie omylcie się!). W książkowych dowodach te wyjaśnienia są zwykle pomijane. \subsection{Dwie definicje pierścienia} \begin{enumerate} \item \emph{Intuicyjna -- do zrozumienia.} Pierścień jest to struktura, gdzie można sensownie dodawać i mnożyć. \item \emph{Formalna -- do dowodu.} \begin{defn} Pierścieniem (z jedynką) będę nazywać zbiór $R$, z określonymi działaniami $+$ i $\cdot$ takimi, że \begin{enumerate} \item $R$ jest grupą przemienną ze względu na $+$, której element neutralny oznaczam $0$. \item Dla wszystkich $a,b\in R$ mamy $a\cdot b\in R$. \item Działanie $\cdot$ jest łączne, tj. $a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$ dla wszystkich $a,b,c\in R$. \item Istnieje element neutralny mnożenia $e\in R$: $$e\cdot a = a\cdot e = a$$ dla wszystkich $a\in R$. Element ten jest jedyny (rozumowanie podobne jak dla grup), oznaczamy go $1$ i nazywamy jedynką: $$1\cdot a = a\cdot 1 = a$$ \item Działanie $\cdot$ jest rozdzielne względem $+$: $$(a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$$ $$c\cdot (a+b) = c\cdot a + c\cdot b$$ dla wszystkich $a,b,c\in R$. \end{enumerate} \end{defn} Trochę własności: Dla każdego $a\in R$ zachodzi $$a\cdot 0 = a\cdot (0 + 0) = a\cdot 0 + a\cdot 0$$ odejmujemy $a\cdot 0$ stronami i otrzymujemy $0 = a\cdot 0$.\\ Dla każdych $a,b\in R$ zachodzi $$-ab = (-a)b = a(-b)$$ Dowód: $ab - ab = 0 = a0 = a(b + (-b)) = ab + a(-b)$, stąd $-ab = a(-b)$. Analogicznie $ab - ab = 0 = (a + (-a))b = ab + (-a)b$, więc $-ab = (-a)b$. \end{enumerate} \subsection{Własności pierścieni i ideały} \begin{enumerate} \item \begin{defn} Niech $R$ będzie pierścieniem. Powiemy, że $R$ jest przemienny, jeżeli $$a\cdot b= b\cdot a$$ dla wszystkich $a,b\in R$. \end{defn} \item Jeżeli $R_1,R_2,\dots,R_n$ są pierścieniami to definiujemy pierścień $$R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n$$ jako zbiór $R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n$ z działaniami ``po współrzędnych''. \item \begin{defn}[Ideał] Niech $R$ będzie pierścieniem. Podzbiór $J$ pierścienia $R$ nazywamy ideałem jeżeli: \begin{enumerate} \item $I$ jest podgrupą przemienną ze względu na $+$. \item Dla dowolnego $r\in R, i\in I$ zachodzi $$r\cdot i\in I\hbox{ oraz }i\cdot r\in I$$ \end{enumerate} \end{defn} ``$J$ jest ideałem $R$'' oznaczamy przez $J\ideal R$. \item Pojęcie ideału rozszerza pojęcie kongruencji:\\ Piszemy $a \equiv b \mod I$ jeżeli $b-a\in I$. Załóżmy, że $$a\equiv b \mod I,\ \ c\equiv d\mod I$$ Wtedy (m.\ in.) $$b\equiv a\mod I$$ $$a + c \equiv b + d \mod I$$ $$a - c \equiv b - d \mod I$$ $$ac \equiv bd \mod I$$ Udowodnię dla przykładu ostatnią (najtrudniejszą) własność.\\ $$a \equiv b\mod I \Rightarrow a-b\in I \Rightarrow (a-b)c\in I$$ $$c \equiv d\mod I \Rightarrow d-c\in I \Rightarrow b(d-c)\in I$$ $$(a-b)c\in I,\ b(d-c)\in I \Rightarrow ac - bd = (a-b)c - b(d-c)\in I \Rightarrow ac \equiv bd \mod I$$ \item W dowolnym pierścieniu $R$ mamy dwa ideały: $R$ i $\left\{ 0 \right\}$. \emph{Warto to sprawdzić, żeby oswoić się z definicją ideału!} \end{enumerate} \subsection{Zastosowanie -- ideały w $\mathbb{Z}$ i nie tylko.} \begin{problem}{}{} Znaleźć wszystkie ideały pierścienia $\mathbb{Z}$. \end{problem} \begin{sol} \textsc{Teza:} Ideały $\mathbb{Z}$ to zbiory liczb postaci $\left\{ \dots, -2n, -n, 0, n, 2n, \dots \right\}$ gdzie $n$ jest liczbą całkowitą. Krócej zbiór $\left\{ \dots, -2n, -n, 0, n, 2n, \dots \right\}$ zapiszemy jako $\mathbb{Z}\cdot n$. \textsc{Dowód:} \begin{enumerate} \item Zbiór $\mathbb{Z}\cdot n$ jest ideałem w $\mathbb{Z}$. Po pierwsze mamy sprawdzić, że da się sensownie dodawać: \emph{Poniższy dowód to typowe pałowanie z definicji: mamy zbiór elementów o danej własności (tutaj: elementy są podzielne przez $n$) i przeliczamy kolejne aksjomaty grupy metodą: tłumaczymy założenia aksjomaty (np.\ mamy $a,b\in \mathbb{Z}n$) na język własności: ($n|a$ i $n|b$), po czym tłumaczymy tezę ($a+b\in \mathbb{Z}n$) na język własności: $n|a+b$ i dowód nagle okazuje się trywialny :)} \begin{itemize} \item Dwa elementy ideału -- liczby podzielne przez $n$ dają w sumie liczbę podzielną przez $n$ a więc element ideału. \item Dodawanie jest łączne tj. $a+(b+c) = (a+b)+c$ dla wszystkich $a,b,c\in \mathbb{Z}n$, gdyż $a+(b+c) = (a+b)+c$ dla wszystkich $a,b,c\in \mathbb{Z}$, a $\mathbb{Z}n \subseteq \mathbb{Z}$. \item Liczba $0$ -- element neutralny dodawania jest podzielna przez $n$, czyli $0\in \mathbb{Z}n$ i mamy w ideale element neutralny. \item Dla każdej liczby $a\in \mathbb{Z}n$ liczba $-a$ także jest podzielna przez $n$, a więc należy do $\mathbb{Z}n$. \end{itemize} Następnie sprawdzamy, czy spełniona jest własność: dla wszystkich $r\in \mathbb{Z}$ i $i\in \mathbb{Z}n$ zachodzi $ri, ir\in \mathbb{Z}n$. Weźmy dowolne $r\in \mathbb{Z},i\in \mathbb{Z}n$. Po pierwsze $ri = ir$. $i\in \mathbb{Z}n$, więc $n|i$, czyli $n|ri$ ergo $ri\in \mathbb{Z}n$. \item Rozważmy teraz dowolny ideał $I \ideal \mathbb{Z}$. Chcemy pokazać, że $I$ jest postaci $\mathbb{Z}k$ dla pewnego $k\in \mathbb{Z}$. \emph{Trzeba dla danego $I$ jakoś zgadnąć to $k$. Hm, co wyróżnia $n$ w $\mathbb{Z}n$? Ależ tak -- $n$ jest liczbą o najmniejszym module!} Jeżeli $I = \left\{ 0 \right\}$ to nie ma sprawy. Załóżmy, że $I\neq \left\{ 0 \right\}$. Niech $l$ będzie niezerowym elementem $I$ o najmniejszym module. Chcemy udowodnić, że $I = \mathbb{Z}l$. Po pierwsze $l\in I$ i $I$ jest ideałem, zatem $2l = l+l\in I$, $3l = 2l + l\in I$ itd., analogicznie $0 = l - l \in I$, $-l = 0 - l\in I$, $-2l = -l -l\in I$ itd. Ostatecznie $\mathbb{Z}l \subseteq I$. Wystarczy więc udowodnić, że $I \subseteq \mathbb{Z}l$. Weźmy dowolne $i\in I$. Zauważmy że element $i \mod l$ czyli reszta z dzielenia $i$ przez $l$ także należy do $I$! Faktycznie dodając lub odejmując $l$ od $i$ dostatecznie wiele razy otrzymujemy $i\mod l$ i nie wychodzimy z ideału (\emph{Bo stosujemy tylko dodawanie i odejmowanie a te nie wybijają nas z ideału})! Ale $|i \mod l| < |l|$. Element $l$ miał najmniejszy moduł spośród elementów niezerowych a $i\mod l$ ma mniejszy moduł, zatem $i\mod l= 0$, $l|i$, $i\in \mathbb{Z}l$. Dowolny element $I$ należy do $\mathbb{Z}l$, czyli $I \subseteq \mathbb{Z}l$. To kończy dowód. \end{enumerate} \end{sol} \begin{cor} Zwykłe kongruencje $\mod n$ to kongruencje $\mod \mathbb{Z}n$ w sensie powyższej definicji. Zatem jedyne sensowne kongruencje, które da się opisać na $\mathbb{Z}$ to kongruencje $\mod n$. \end{cor} \begin{lem} Niech $I\ideal R$ i $J\ideal R$ będą ideałami pierścienia $R$. Wtedy $I \cap J$ (\emph{zbiór będący przecięciem zbiorów}) jest ideałem $R$. \end{lem} \begin{proof} \emph{Cóż, trzeba przeliczyć aksjomaty$\dots$} Jeżeli $a,b \in I\cap J$ to $a,b\in I$ a $I$ jest ideałem, więc $a+b \in I$. Analogicznie $a,b\in J$ a $J$ jest ideałem stąd $a+b\in J$. $a+b\in I,J$, czyli $a+b\in I\cap J$. Pozostałe aksjomaty związane z dodawaniem przelicza się podobnie i zostawiam to czytelnikowi. Udowodnijmy jeszcze, że jeżeli $i\in I\cap J$ a $r\in R$ to $ri, ir\in I\cap J$. $i\in I\cap J$, stąd $i\in I$, czyli ($I$ -- ideał), $ri\in I$. Analogicznie $i\in J$, czyli $ri\in J$. Łącznie $ri\in I\cap J$. Identycznie argumentując $ir\in I\cap J$. \end{proof} \begin{lem} Niech $R$ i $S$ będą pierścieniami z $1$. Wtedy każdy ideał $I\ideal R \times S$ jest postaci $I = J \times K$, gdzie $J\ideal R$ i $K\ideal S$. \end{lem} \emph{Ten lemat oddaje istotę: w pierścieniu działa się po współrzędnych, niezależnie od siebie.} \begin{proof} \emph{Dowód nieco inny niż na kółku.} Po pierwsze zauważmy, że $R \times \left\{ 0 \right\}$ i $\left\{ 0 \right\} \times S$ są ideałami w $R \times S$. Można to przeliczyć bezpośrednio, a po krótkim zastanowieniu powinno to być oczywiste. Niech $I$ będzie dowolnym ideałem $R \times S$. Rozważmy rzuty $I$ na pierwszą i drugą współrzędną: $$J':= I \cap (R \times \left\{ 0 \right\}) \qquad K':= I \cap (\left\{ 0 \right\} \times R)$$ Z poprzedniego lematu wiemy, że $J', K'$ są ideałami w $R \times S$. Zauważmy, że każdy element $J'$ ma drugą współrzędną zerową, zatem $J'$ jest postaci $J \times \left\{ 0 \right\}$ dla pewnego zbioru $J$. $J'$ jest ideałem $R \times S$, a więc $J$ jest ideałem $R$ (ew.\ sprawdzenie bezpośrednie). Analogicznie $K' = \left\{ 0 \right\} \times K$ i $K$ jest ideałem $S$. Twierdzę, że $I = J \times K$. Udowodnię zawierania $I \subseteq J \times K$ oraz $J \times K \subseteq I$. $I \subseteq J \times K$. Weźmy dowolne $(j,k)\in I$. $I$ jest ideałem, zatem $(j,k)\cdot (1,0) = (j,0)\in I$. Ale również $(j,0) \in R \times \left\{ 0 \right\}$, a więc $(j,0) \in I \cap (R \times \left\{ 0 \right\}) = J'$, z zatem $j\in J$. Analogicznie $(j,k)(0,1) = (0,k)\in K'$ czyli $k\in K$. Tym samym $(j,k)\in J \times K$. $J \times K \subseteq I$. Weźmy dowolne $j\in J$ i $k\in K$. Z definicji $J, J'$ mamy $(j,0)\in J' \subseteq I$. Analogicznie z definicji $K, K'$ zachodzi $(0,k)\in K' \subseteq I$. Zatem $(j,k) = (j,0) + (0,k) \in I$ bowiem $(j,0),(0,k)\in I$. \end{proof} \begin{cor} Wszystkie ideały pierścienia $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ są postaci $\mathbb{Z}k \times \mathbb{Z}l$ dla pewnych $k,l\in \mathbb{Z}$. \end{cor} \end{document} |
