Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
 
\usepackage{amssymb}
 
\usepackage{amsmath}
 
\textwidth 16cm
 
\textheight 24cm
 
\oddsidemargin 0cm
 
\topmargin 0pt
 
\headheight 0pt
 
\headsep 0pt
 
\usepackage[polish]{babel}
 
\usepackage[OT4]{fontenc}
 
\usepackage[utf8]{inputenc}
 
% ----------------------------------------------------------------
 
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
 
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
 
% THEOREMS -------------------------------------------------------
 
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
 
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
 
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
 
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
 
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
 
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
 
 
\begin {document}
 
\title{Kółko 27.10 - Dirichlet}
 
\date{}
 
\maketitle
 
  Teoria:
 
  \begin{enumerate}
 
    \item Dirichlet jest wszędzie, nawet tam, gdzie się go nie spodziewasz... Bądź ostrożny, żeby Cię nie dopadł :)
 
    \item \begin{thm}[Zasada szufladkowa, Dirichleta, gniazd gołębich ...]
 
      Jeżeli mamy $n+1$ przedmiotów i $n$ szufladek i wkładamy przedmioty do szufladek, to w pewnej szufladce będą 2 przedmioty.\end{thm}
 
    \item Inne często używane sformułowanie: Jeżeli mamy $n$ przedmiotów i $n$ szufladek i wkładamy przedmioty do szufladek tak, że w żadnej szufladce nie ma więcej niż jednego przedmiotu, to \textbf{każda} szufladka jest niepusta.
 
    \item \begin{thm}[Zasadnicze twierdzenie arytmetyki :p]
 
      Jeżeli $a|bc$ i $a$ jest względnie pierwsze z $b$, to $a|c$.\end{thm}
 
  \end{enumerate}
 
Zadanka:
 
Wszystkie liczby są \textbf{całkowite}, a w większości również dodatnie.
 
\begin{enumerate}
 
\item Z obozu dla przypomnienia: W turnieju szachowym startuje $n\geq 2$ zawodników. Każda para rozgrywa dokładnie jeden mecz. Udowodnić, że w każdej chwili turnieju istnieje 2 graczy, którzy rozegrali (do końca) po tyle samo partii.
 
\item Niech $a_1,a_2,\cdots, a_n$ będą liczbami całkowitymi. Udowodnij, że istnieją takie $1\leq k \leq l \leq n$, że $a_k+a_{k+1}+\cdots+a_l$ jest podzielne przez $n$. (link z mathlinks)
 
\item Udowodnij, że dla dowolnego $a$ niepodzielnego przez $p$ ($p$ - pierwsze), w ciągu liczb $0, a, 2a, \cdots, (p-1)a$ istnieje liczba dająca resztę $1$ z dzielenia przez $p$.
 
\item Udowodnij chińskie twierdzenie o resztach, czyli dowiedź, że jeśli $n,m$ są względnie pierwsze (i dodatnie), to dla dowolnych $a,b$ istnieje takie $x$, że $x\equiv a \mod n$ i $x\equiv b \mod m$.(mathlinks)
 
\item Udowodnij "`słabsze twierdzenie Fermata"': dla danej liczby pierwszej $p$ i dodatniej liczby $a$ istnieje takie $n$, $2\leq n\leq p$, że $p|a^n-a$.
 
\item Kozik przygotowuje się do OI. Załatwił sobie zwolnienie na $11$ tygodni (!!!). W tym czasie zamierza dziennie robić co najmniej $1$ zadanko, ale w każdym pełnym tygodniu nie zrobić więcej niż $12$ zadanek (żeby się nie przemęczać). Udowodnij, że istnieją takie $a,b$, że od dnia $a$ do dnia $b$ (włącznie) Kozik rozwiązał dokładnie 21 zadań. (mathlinks)
 
\item Danych jest 6 punktów o współrzędnych całkowitych na płaszczyźnie. Udowodnić, że środek pewnego odcinka o końcach w tych punktach ma współrzędne całkowite.
 
\item W trójkącie równobocznym o boku $12$ umieszczono $300$ punktów, z których żadne 3 nie leżą na jednej prostej. Udowodnij, że pewne $3$ z nich tworzą trójkąt o polu mniejszym niż $\frac{1}{2}$ i obwodzie niewiększym niż $3$. (staszic)
 
%\item (*) Wykazać, że dla dowolnej liczby pierwszej $p$ istnieją takie $x,y,k$ całkowite, że $0<2k<p$ i $x^2+y^2=kp+3$. (Staszic)
 
\item (*) Niech $A=\{(a_1,a_2,\cdots,a_8)|1\leq a_i \leq 1+i\}$ i niech podzbiór $X\subset A$ będzie nazywany endrjusuperowym, jeżeli dla każdych różnych ósemek $(a_1,\cdots,a_8),(b_1,\cdots,b_8)\subset X$ co najmniej trzy liczby z ósemek są różne, tj. istnieją takie $i,j,k$, $1\leq i< j< k\leq 8$, że $a_i\neq b_i$, $a_j\neq b_j$, $a_k\neq b_k$. Wyznaczyć największą ilość elementów, jaką może mieć zbiór endrjusuperowy.
 
\end{enumerate}
 
\end{document}