Topologia Algebraiczna

Wykład fakultatywny na Wydziale MIM UW

Prowadzący, miejsce i czas

Tematy wykładów

Zadania

O topologii algebraicznej

Literatura i dowiązania

Prowadzący, miejsce i czas

Prowadzący:

• Stefan Jackowski e-mail: sjack@mimuw.edu.pl tel. 5544459
  Konsultacje: p. 4590, wtorek 10:00-12:00 lub po umówieniu.

Miejsce i czas: Wydział MIM UW, ul.Banacha 2 (wejście od ul. Pasteura),
Wykład i cwiczenia: środy 14:15-17:45, sala 4060

Tematy wykładów

• Podstawy teorii kategorii: kategoria, funktor, transformacja naturalna; przykłady geometryczne i algebraiczne.

• Topologie w przestrzeni odwzorowań ciągłych.

• Homotopia odwzorowań i homotopijna równoważność przestrzeni. Kategoria homotopii. Rola punktu wyróżnionego. Obiekty grupowe i ko-grupowe.

• Korozwłóknienia i rozwłóknienia. Zastosowania do badania homotopijnej równoważności przestrzeni, Przekształcenia lokalnie trywialne.

• Rozkład przekształcenia na superpozycję korozwłóknienia (lub rozwłóknienienia) i homotopijnej równoważności.

• Ciągi dokładne D. Puppe dla odwzorowania ciąglego.

• CW-kompleksy. Tw. J.H.C. Whiteheada.

• Grupy homotopii. Działanie grupy podstawowej na wyzszych grupach homotopii. Ciąg dokładny pary i ciąg dokładny homotopii rozwłóknienia.

• Obliczanie grup homotopii. Elementy topologii różniczkowej. Aproksymacja gładka odwzorowań rozmaitości. Tw. o aproksymacji komórkowej.

• Tw. Hopfa o klasyfikacji przekształceń M^k ---> S^n dla k\leq n.

• Tw. o doklejaniu komórki. Przestrzenie z zadanymi grupami homotopii.

• Przestrzenie Eilenberga-MacLane'a. Rozkład Postnikova przestrzeni.

Zadania

Seria 1. Kategorie i funktory

Seria 2. Przestrzenie odwzorowań

Seria 3. Korozwłóknienia i rozwłóknienia

Seria 4. CW-kompleksy

Seria 5. Funktory półdokładne

Seria 6. Obliczenia grup homotopii

Seria 7. Klasyfikacja homotopijna odwzorowań

O topologii algebraicznej

Topologia algebraiczna jako wyodrębniony dział matematyki liczy niewiele ponad 100 lat. Polega na badaniu własności topologicznych przy pomocy metod algebraicznych, korzysta rowniez z narzędzi analitycznych. Podstawowe pojęcia topologii algebraicznej - homotopii i homologii zostały wprowadzone przez wielkiego matematyka francuskiego Henri Poincare (1854-1912). Poincare przypuszczał, że te idee odegrają fundamentalną rolę w teoriach matematycznych, nawet odległych od geometrii i topologii . Ta wizja sprawdziła sie - wyniki i metody topologii algebraicznej wywarły ogromny wpływ na badania matematyczne w XX wieku w szerokim spektrum dziedzin. Doskonale ilustruje to lista wybranych matematyków, którzy przyczynili się do rozwoju idei topologii algebraicznej lub ich zasosowań (w nawiasach kraje, w których działali oraz lata najważniejszych prac z tej dziedziny oraz ew. informacja o otrzymaniu medalu Fieldsa):
 

James Waddell Alexander (USA, 13-36), Salomon Lefschetz (USA, 20-33), Heinz Hopf (D-CH, 26-45), Karol Borsuk (PL, 31-37), Lew Pontrjagin (RUS, 31-50), Eduard Cech (CZ, 32-36), Charles Ehresmann (F, 34-54), Jean Leray (F, 35-50), Witold Hurewicz (PL-NL, 35-55), Hassler Whitney (USA, 35-57), Norman Earl Steenrod (USA, 36-62), Hans Freudenthal (NL, 37-39), Samuel Eilenberg (PL-USA, 39-66), George De Rham (CH, 39-50), John Henry Constanine Whitehead (GB, 39-51), Henri Cartan (F, 45-56), Shiing-shen Chern (Chiny-USA, 46-57), Rene Thom (F, 49-54, m. Fieldsa 1958), Jean-Pierre Serre (F, 51-53, m. Fieldsa 1954),

Friedrich Hirzebruch (D, 53-56), Raoul Bott (USA, 54-70), John Milnor (USA, 56-70, m. Fieldsa 1962), Alexander Grothendieck (F, 57, m. Fieldsa 1966), John Frank Adams (GB, 58-89), Michael F. Atiyah (GB, 59-70, m. Fieldsa 1966), Daniel Quillen (USA, m. Fieldsa 1978), Dennis Sullivan (USA), Stephen Smale (USA, m. Fieldsa 1966), William Browder (USA), Sergei Petrovich Novikov (RUS, m. Fieldsa 1970), Greame Segal (GB, 64-80), Michael Freedman (USA, m. Fieldsa 1986), Simon Donaldson (UK, m. Fieldsa 1986), Vaughan Jones (USA, m. Fieldsa 1990), Vladimir Drinfeld (RUS-USA, m. Fieldsa 1990), Maxim Kontsevich (RUS-F, m. Fieldsa 1998), Vladimir Voyevodsky (RUS-USA, m. Fieldsa 2002).

Zainteresowanym historią topologii algebraicznej polecamy wyjatkowe dzieło J. Dieudonne A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960 Birhhaeuser 1989 oraz ciekawy zbior artykułow Algebraic Topology - A Student's Guide wydany przez J. F. Adamsa (Cambridge Univ. Press 1972) opatrzony przedmową autora o tym jak jego zdaniem powinno się uczyć topologii algebraicznej. Interesujacy jest też artykuł przeglądowy S.P. Novikova Topologia Algebraiczna (po rosyjsku).

Literatura i dowiązania

Podręczniki

• A.Bojanowska Notatki do wykładu z Topologii Algebraicznej

• A. Bojanowska, S. Jackowski Topologia 2

• G. Bredon, Topology and Geometry, Springer-Verlag, New York, 1993

• Allen Hatcher Algebraic Topology

• J.P.May A Concise Course in Algebraic Topology.

• J. W. Milnor, Topologia z różniczkowego punktu widzenia (Topology from the differentiable viewpoint)

• Jesper Michael Moller Algebraic Topology Notes - uzupełnienie do rozdziału 0 książki A.Hatchera

• Neil Strickland Notes on Homotopy Theory

Inne ciekawe teksty

• M. F. Atiyah Mathematics in the 20th century

• M.J.Hopkins Algebraic Topology and Modular Forms ICM 2002

• The New York Times Science, April 15, 2003

• J. Milnor The Poincare Conjecture 99 Years Later. A Progress Report. February 2003

Archiwa preprintów

• Hopf Archive

• ArXive

• K-theory Preprints ArXiv

Aktualizacja: 19.11 2008

[Początek] [Prowadzący, miejsce i czas] [Tematy wykładów] [Zadania z ćwiczeń] [O topologii...] [Literatura...]