skrypt prof. Adama Osękowskiego - formalnie napisany do wykładu na zwykłym potoku,
ale zawiera większość omawianego materiału i dużo ciekawych zadań.
J.Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa -
- najbliższy podręcznik do programu wykładu RP1 i RP2, dobrze i starannie napisany, wiele ciekawych
zadań o zróżnicowanym poziomie trudności
P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - godny polecenia podręcznik,
dobrze się czyta, ciekawe zadania
W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II -
szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością,
ale lektura warta wysiłku, spora część materiału znacznie wykraczajaca poza
zakres kursu
A.N.Shiryayev Veroyatnost, jest też przekład angielski
Probability - dobrze napisany, nowoczesny podręcznik do rachunku,
trochę zadań, nie ma niestety przekładu polskiego
inne podręczniki w języku angielskim, np. K.L.Chung A Course in
Probability Theory lub M.Loeve Probability Theory - oba godne
polecenia
27 lutego 2023 - aksjomatyka Kołmogorowa, przykłady przestrzeni
probabilistycznych (prawdopodobieństwo klasyczne, geometryczne, dyskretne
przestrzenie probabilistyczne),
paradoks Bertranda, język prawdopodobieństwa a teoria mnogości - interpretacja
limsup i liminf, podstawowe własności prawdopodobieństwa, I część lematu Borela-Cantelliego
6 marca 2023 - prawdopodobieństwo warunkowe - definicja, wzór iloczynowy/łańcuchowy, prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa, lemat o lambda- i pi-układach, produkt skończonej liczby przestrzeni
probabilistycznych - jednoznaczność i istnienie, schemat Bernoulliego, twierdzenie Fubiniego.
13 marca 2023 - produkt nieskończonej rodziny przestrzeni probabilistycznych, niezależność zdarzeń i sigma-ciał - definicja, przykłady, związek pojęć, niezależność wystarczy sprawdzać na
pi-układach generujących sigma-ciała, niezależność sigma-ciał generowanych przez rozłączne grupy niezależnych sigma-ciał (twierdzenie o grupowaniu), II część lematu Borela-Cantelliego.
20 marca 2023 - prawo 0-1 Kołmogorowa, definicja zmiennej losowej, przykłady, rozkład zmiennej losowej, dystrybuanta w przypadku jedno i wielowymiarowym, dystrybuanta wyznacza rozkład, przykładowe obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń za pomocą dystrybuanty, własności dystrybuant
jedno i wielowymiarowych, niezależność zmiennych losowych, równoważne sformułowania niezależności współrzędnych wektora losowego (w tym w terminach dystrybuant)
27 marca 2023 - rozkłady dyskretne i ciągłe, przegląd ważniejszych rozkładów - dwumianowy, Poissona, geometryczny,
ujemny dwumianowy, jednostajny, wykładniczy, normalny, gamma, Cauchy'ego. Rozkład Poissona
jako granica rozkładów dwumianowych, brak pamięci dla rozkładu wykładniczego.
Wartość oczekiwana - podstawowe własności. Twierdzenie o zamienie zmiennych - jak liczyć wartość oczekiwaną
w przypadku ciągłym i dyskretnym.
3 kwietnia 2023 - Wartość oczekiwana rozkładów dwumianowego, Poissona, jednostajnego na przedziale, normalnego. Rozkład Cauchy'ego nie ma wartości oczekiwanej. Wariancja - definicja i równoważny wzór. Wariancja zmiennych o rozkładzie Poissona i normalnej. Nierówności Markowa i Czebyszewa. Inne charakterystyki zmiennych losowych - mediana, kwantyle i momenty.
Kowariancja i korelacja zmiennych losowych - definicje i podstawowe własności. Zmienne niezależne są nieskorelowane.
Macierz kowariancji i jej podstawowe własności. Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych jest splotem rozkładów.
17 kwietnia 2023 - splot funkcji z miarą i splot dwóch funkcji z L^1, dystrybuanta sumy niezależnych zmiennych losowych jest splotem dystrybuanty jednej zmiennej i rozkładu drugiej, suma niezależnych rozkładów Poissona ma rozkład Poissona, gęstość sumy dwóch zmiennych niezależnych ciągłych jest splotem gęstości, splot rozkładów normalnych jest normalny, kombinacje liniowe niezależnych zmiennych gaussowskich są gaussowskie, suma niezależnych rozkładów Gamma z tym samym parametrem skali ma rozkład Gamma (rachunek odłożony na ćwiczenia) i wnioski - suma niezależnych zmiennych wykładniczych, suma kwadratów niezależnych zmiennych N(0,1) (rozkład chi-kwadrat).
Warunkowa wartość oczekiwana względem zdarzenia i sigma-ciała atomowego.
24 kwietnia 2023 - Ogólna definicja warunkowej
wartości oczekiwanej całkowalnej zmiennej losowej względem sigma-ciała. Przykłady - sigma-ciało atomowe i produktowe.
Jednoznaczność i istnienie wwo (to ostatnie z twierdzenia Radona-Nikodyma). Własności warunkowej wartości oczekiwanej w tym liniowość,
monotoniczność, własność uśredniania zmiennych niezależnych od sigma-ciała, nierówność Jensena.
8 maja 2023 - Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej, zmajoryzowanej oraz Lemat Fatou dla wwo, wyciąganie zmiennych mierzalnych przed znak wwo. Dowód twierdzenia Radona-Nikodyma (poprzez twierdzenie Riesza o postaci funkcjonału w przestrzeni Hilberta). Warunkowa wartość oczekiwana
jako rzut ortogonalny w L^2. Warunkowa wartość oczekiwana jednej zmiennej względem drugiej - krzywa regresji.
15 maja 2023 - Dokończenie dowodu istnienia krzywej regresji. Prawdopodobieństwo warunkowe i regularny rozkład warunkowy - definicja i istnienie na prostej. Przegląd nierówności związanych z p-tymi momentami
zmiennych losowych nierowność Hoeldera (i dyskusja przypadku równości), Lyapunowa (o monotoniczności norm L_p), nierówność Minkowskiego, nierówność między średnimi arytmetyczną i geometryczną. Istotne supremum oraz średnia geometryczna jako granice momentów (bez dowodu).
22 maja 2023 - Zbieżność zmiennych losowych (o wartościach w przestrzeniach metrycznych) - prawie na pewno, według prawdopodobieństwa, według p-tego momentu, implikacje między trzema typami zbieżności. Silna zbieżność, każdy ciąg zmiennych losowych zbieżnych według prawdopodobieństwa ma podciąg silnie zbieżny, a więc
zbieżny prawie na pewno. Redukcja zbieżności prawie na pewno w zupełnych przestrzeniach metrycznych do oszacowania
ogona supremów odległości między zmiennymi. Nierówności maksymalne: Levy'ego, Levy'ego-Ottavianiego i Kołmogorowa. Odwrotna nierówność maksymalna Kołmogorowa.
29 maja 2023 - równoważność zbieżnosi p.n. i według prawdopodobieństwa dla sum niezależnych wektorów
losowych o wartościach w ośrodkowej przestrzeni Banacha, Twierdzenie Chinczyna-Kołmogorowa o zbieżności szeregów losowych, twierdzenie Chinczyna-Kołmogorowa o dwóch szeregach, twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach, warunek równoważny zbieżności sum niezależnych zmiennych symetrycznych. Lemat Kroneckera, mocne praw wielkich liczb dla sum zmiennych losowych o skończonej wariancji. Klasyczne mocne prawo wielkich
liczb Kołmogorowa.
5 czerwca 2023 - Dokończenie dowodu mocnego prawa wielkich liczb. Sformułowanie MPWL Marcinkiewicza-Zygmunda. Zastosowania praw wielkich liczb - prawdopodobieństwo zdarzenia jako granica częstości, twierdzenie Gliwienki-Cantelliego o jednostajnej zbieżności dystrybuanty empirycznej, wielomiany Bernsteina. Słabe prawa wielkich liczb w wersji Fellera.
19 czerwca 2023 (online) - Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a o przybliżaniu rozkładu dwumianowego przez rozkład normalny - wersja lokalna i całkowa. Dyskusja kiedy można rozkład dwumianowy przybliżać przez rozkład normalny, a kiedy przez Poissona. Informacja o centralnym twierdzeniu granicznym dla sum zmiennych o jednakowym rozkładzie.