J.Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa -
- najbliższy podręcznik do programu wykładu RP1 i RP2, dobrze i starannie napisany, wiele ciekawych
zadań o zróżnicowanym poziomie trudności
P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - godny polecenia podręcznik,
dobrze się czyta, ciekawe zadania
W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II -
szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością,
ale lektura warta wysiłku, spora część materiału znacznie wykraczajaca poza
zakres kursu
A.N.Shiryayev Veroyatnost, jest też przekład angielski
Probability - dobrze napisany, nowoczesny podręcznik do rachunku,
trochę zadań, nie ma niestety przekładu polskiego
inne podręczniki w języku angielskim np K.L.Chung A Course in
Probability Theory lub M.Loeve Probability Theory - oba godne
polecenia
25 lutego 2019 - aksjomatyka Kołmogorowa, przykłady przestrzeni
probabilistycznych (prawdopodobieństwo klasyczne, geometryczne, dyskretne
przestrzenie probabilistyczne), dobór właściwego modelu probabilistycznego,
paradoks Bertranda, język prawdopodobieństwa a teoria mnogości - interpretacja
limsup i liminf, podstawowe własności prawdopodobieństwa, I część lematu Borela-Cantelliego
4 marca 2019 - prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo
całkowite i wzór Bayesa, lemat o lambda- i pi-układach, produkt skończonej liczby przestrzeni
probabilistycznych - jednoznaczność i istnienie, schemat Bernoulliego.
11 marca 2019 - twierdzenie Fubiniego, niezależność zdarzeń i sigma-ciał, przykłady, niezależność wystarczy sprawdzać na pi-układach generujących sigma-ciała, niezależność sigma ciał generowanych przez rozłączne grupy niezależnych sigma-ciał, prawo 0-1 Kołmogorowa.
18 marca 2019 - II część lematu Borela-Cantelliego, definicja zmiennej losowej, rozkład zmiennej losowej, dystrybuanta w przypadku jedno i dwuwymiarowym, dystrybuanta wyznacza rozkład, przykładowe obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń za pomocą dystrybuanty, własności dystrybuant,
niezależność zmiennych losowych, sformułowania równoważne (w tym w terminach dystrybuant), dyskretne zmienne losowe
25 marca 2019 - rozkłady ciągłe, przegląd ważniejszych rozkładów - dwumianowy, Poissona, geometryczny,
ujemny dwumianowy, jednostajny, wykładniczy, normalny, gamma, Cauchy'ego. Rozkład Poissona
jako granica rozkładów dwumianowych, brak pamięci dla rozkładu wykładniczego.
Wartość oczekiwana - podstawowe własności. Twierdzenie o zamienie zmiennych - jak liczyć wartość oczekiwaną
w przypadku ciągłym i dyskretnym. Wartość oczekiwana rozkładu Poissona.
1 kwietnia 2019 - wariancja, definicja i równoważny wzór. Wariancja zmiennych o rozkładzie Poissona i normalnej. Nierówności Markowa i Czebyszewa. Inne charakterystyki zmiennych losowych - mediana, kwantyle i momenty.
Kowariancja i korelacja zmiennych losowych - definicje i podstawowe własności. Zmienne niezależne są nieskorelowane.
Macierz kowariancji i jej podstawowe własności. Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych jest splotem rozkładów.
8 kwietnia 2019 - splot funkcji z miarą i splot dwóch funkcji z L^1, splot funkcji ciągłej z miarą jest funkcją ciągłą, dystrybuanta sumy niezależnych zmiennych losowych jest splotem dystrybuanmty jednej zmiennej i rozkładu drugiej, splot ciągów, suma niezależnych rozkładów Poissona ma rozkład Poissona, funkcja tworząca zmiennych o wartościach całkowitych i jej podstawowe własności, gęstość sumy dwóch zmiennych niezależnych ciągłych jest splotem gęstości, suma niezależnych rozkładów Gamma z tym samym parametrem skali ma rozkład Gamma.
15 kwietnia 2019 - splot rozkładów normalnych jest normalny, kombinacje liniowe niezależnych zmiennych gaussowskich są gaussowskie. Warunkowa wartość oczekiwana względem zdarzenia i sigma-ciała atomowego. Ogólna definicja warunkowej
wartości oczekiwanej całkowalnej zmiennej losowej względem sigma-ciała. Przykłady - sigma-ciało atomowe i produktowe.
Jednoznaczność i istnienie wwo (to ostatnie z twierdzenia Radona-Nikodyma).
29 kwietnia 2019 - dowód twierdzenia Radona-Nikodyma (poprzez twierdzenie Riesza o postaci funkcjonału w przestrzeni Hilberta). Własności warunkowej wartości oczekiwanej w tym liniowość,
monotoniczność, własność uśredniania zmiennych niezależnych od sigma-ciała, nierówność Jensena.
Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej dla wwo.
6 maja 2019 - Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej i Lemat Fatou dla wwo, wyciąganie zmiennych mierzalnych przed znak wwo, warunkowa wartość oczekiwana jednej zmiennej względem drugiej - krzywa regresji, prawdopodobieństwo warunkowe, regularny rozkład warunkowy - definicja i istnienie na prostej. Przegląd nierówności:
nierowność Jensena, Hoeldera, Lyapunowa (o monotoniczności norm L_p), nierówność Minkowskiego.
13 maja 2019 - Zbieżność zmiennych losowych (o wartościach w przestrzeniach metrycznych) - prawie na pewno, według prawdopodobieństwa, według p-tego momentu, implikacje między trzema typami zbieżności. Silna zbieżność, każdy ciąg zmiennych losowych zbieżnych według prawdopodobieństwa ma podciąg silnie zbieżny, a więc
zbieżny prawie na pewno. Redukcja zbieżności prawie na pewno w zupełnych przestrzeniach metrycznych do oszacowania
ogona supremów odległości między zmiennymi. Nierówność maksymalna Kołmogorowa i odwrotna nierówność maksymalna Kołmogorowa. Twierdzenie Chinczyna-Kołmogorowa o zbieżności szeregów losowych.
20 maja 2019 - twierdzenie Chinczyna-Kołmogorowa o dwóch szeregach, twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach,
warunek równoważny zbieżności sum niezależnych zmiennych symetrycznych. Słabe prawa wielkich liczb dla zmiennych
parami niezależnych, wielomiany Bernsteina. Lemat Kroneckera, mocne praw wielkich liczb dla sum zmiennych losowych o skończonej wariancji.
25 maja 2019 - - Silne prawo wielkich liczb i zastosowania - prawdopodobieństwo zdarzenia jako granica częstości,
twierdzenie Gliwienki-Cantelliego o jednostajnej zbieżności dystrybuanty empirycznej, liczby normalne. Sformułowanie
słabego prawa wielkich liczb w wersji Fellera.
3 czerwca 2019 - Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a o przybliżaniu rozkładu dwumianowego przez rozkład normalny,
wersja lokalna i całkowa. Informacja o centralnym twierdzeniu granicznym dla sum zmiennych o jednakowym rozkładzie.