Wykład z Analizy Funkcjonalnej I, III-V rok matematyki

• Wyniku zaliczenia ćwiczeń (0-30 pkt)
• Wyniku egzaminu pisemnego (0-70 pkt)
• Egzaminu ustnego dla wybranych osób.

• poniedziałki 10.15-11.45 s.2180 Rafał Latała
• poniedziałki 14.15-15.45 s.2180 Rafał Latała
• wtorki 8.30-10.00 s.3230 Maria Mastalerz
• środy 16.15-17.45 s.3180 Wojciech Wojtyński
• środy 18.15-19.45 s.3180 Wojciech Wojtyński
• piątki 10.15-11.45 s.5850 Henryk Toruńczyk

1. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa.
Doskonały podręcznik do analizy z dużą ilością ciekawych zadań. Momentami wymagający wysiłku przy lekturze. Wybrane rozdziały dotyczące analizy funkcjonalnej obejmują znaczącą część wykładu.
2. W. Rudin Analiza funkcjonalna. PWN, Warszawa.
Trudny, choć bardzo dobry podręcznik do analizy funkcjonalnej, podejście znacznie ogólniejsze niż na wykładzie.
3. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa.
Przystępnie napisany podręcznik z nieco za małą liczbą zadań. Zawiera większość materiału z wykładu, choć podaną z nieco innej perspektywy.

• 2 października 2007
Definicja przestrzeni unormowanej. Przykłady. Przestrzeń Banacha. Przestrzenie C(K) - dowód zupełności. Nierówność Hoeldera i Minkowskiego. Przestrzenie L_p(X,m) i l_p. Zupelność przestrzeni L_p. Ciąg zbieżny w L_p ma podciąd zbieżny m-p.w.
• 9 października 2007
Funkcje istotnie ograniczone, norma istotne supremum, L_infty(X,m) jest przestrzenia Banacha, istotne supremum jako granica norm w L_p dla miar skonczonych. Domknieta podprzestrzen przestrzeni Banacha jest Banacha, c_0 jest domkniete w l_infty. Ciaglosc operatora liniowego jest rownowazna jego ograniczonosci, norma operatora liniowego, przestrzen unormowana B(X,Y) jest Banacha jesli Y jest Banacha, przestrzen X^*. Przyklady na sprawdzanie ciaglosci i liczenie norm operatorow liniowych.
• 16 października 2007
Definicja przestrzeni unitarnej. Przykłady. Podstawowe własności iloczynu skalarnego - nierówność Schwarza, tożsamość równoległoboku. Iloczyn skalarny wyznacza normę. Na przestrzeni unormowanej istnieje iloczyn skalarny zadający normę wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest tożsamość równoległoboku (bez dowodu). Przestrzenie Hilberta. Istnienie elementu o najmniejszej normie w wypukłych, domkniętych podzbiorach przestrzeni Hilberta. Przestrzeń prostopadła. Rozkład popdprzestrzeni na przestrzeń domknietą i przestrzeń do niej prostopadłą, rzut na podprzestrzeń domkniętą i jego własności.
• 23 października 2007
Twierdzenie Riesza o postaci ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta. Miary absolutnie ciągłe i osobliwe. Gęstość miary. Twierdzenie Lebesgue'a-Radona-Nikodyma o rozkładzie miar na część osobliwą i absolutnie ciągłą z gęstością względem drugiej miary.
• 30 października 2007
Miary ze znakiem i miary zespolone. Wariacja miary zespolonej jest miarą skończoną. Każda miara ze znakiem jest różnicą miar skończonych. Twierdzenie Radona-Nikodyma dla miar zespolonych. Układy ortonormalne. Postać rzutu na podprzestrzeń rozpiętą przez skończony układ o.n. Nierówność Bessela. Równoważne definicje bazy o.n. Istnienie bazy o.n.
• 6 listopada 2007
Tożsamość Parsevala, izometryczność z l_2(A), ośrodkowość przestrzeni Hilberta jest równoważna przeliczalności bazy o.n., klasyfikacja ośrodkowych przestrzeni Hilberta. Gęstość funkcji ciągłych ograniczonych w L_p(A) dla p skończonych A borelowskich oraz ciągłych o nośniku zwartym dla A otwartych. Układ trygonometryczny.
• 13 listopada 2007
Rozwinięcie t w układzie trygonometrycznym i wzór na \sum n^{-2}, układ Haara na [0,1] i na prostej, uwaga o falkach. Lemat Banacha o przedłużaniu funkcjonałów liniowych dominowanych przez funkcjonał Banacha. Istnienie funkcjonału liniowego na ciągach ograniczonych leżącego między granicą górną a dolną.
• 20 listopada 2007
Twierdzenie Hahna-Banacha o przedłużaniu funkcjonału z zachowaniem normy, funkcjonały z X^* rozdzielają punkty w X, twierdzenie Mazura o odzielaniu zbioru wypukłego otwartego od zbioru wypukłego z nim rozłącznego. Przestrzeń dualna do L_p, p skonczone.
• 27 listopada 2007
Dokończenie dowodu o przestrzeniach dualnych do L_p, przestrzenie dualne do l_p i c_0. Twierdzenie Riesza - przestrzeń miar ze znakiem M(K) jest dualna do C(K) (bez dowodu). Twierdzenie Banacha-Steinhausa, granica punktowa operatorów liniowych ciągłych jest operatorem ciągłym.
• 4 grudnia 2007
Każdy wektor zadaje funkcjonał liniowy na X^*, włożenie przestrzeni X w X^**. Refleksywność przestrzeni Banacha, przykłady przestrzeni refleksywnych i nierefleksywnych. Słaba i słaba z gwiazdką zbieżność. Każdy ciąg słabo (słabo z gwiazdką) zbieżny jest ograniczony. Charakteryzacja słabej zbieżności w przestrzeniach Hilberta. Twierdzenie Banacha o przekształceniu otwartym i operatorze odwrotnym.
• 11 grudnia 2007
Twierdzenie o wykresie domkniętym. Przykład zastosowania. Kula jednostkowa w przestrzeni unormowanej jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy wymiar przestrzeni jest skończony. Definicja operatora zwartego. Przykłady. Operatory zwarte tworzą liniową, domkniętą podprzestrzeń operatorów liniowych ciągłych.
• 18 grudnia 2007
Złożenie operatora zwartego i ciągłego jest zwarte. Przykład dowodu, że operator jest zwarty jako granica skończenie wymiarowych. Na ośrodkowej przestrzeni Hilberta każdy operator zwarty jest granicą skończenie wymiarowych. Uwaga o wyniku Enflo. Definicja operatora sprzężonego. Sprzężenie zachowuje normę. Przykłady operatorów sprzężonych. Sprzężenie złożenia. Sprzężenie zachowuje zwartość. Sprzężenie Hilbertowskie.
• 8 stycznia 2008
Własności sprzężenia Hermitowskiego. Operatory unitarne i samosprzężone. Operatory unitarne to izometrie na. Wartości własne i wektory własne operatorów. Twierdzenie o diagonalizacji operatora zwartego, samosprzężonego.
• 15 stycznia 2008
Przykłady operatorów bez wartości własnych. Spektrum i rezolwenta operatora. Spektrum jest zwarte i w przypadku zespolonym niepuste. Informacja o własnościach spektrum operatorów samosprzężonych (bez dowodu).
• 22 stycznia 2008
Definicja transformaty Fouriera na L^1 i jej podstawowe własności. Splot funkcji z L^1, transformata Fouriera splotu. Transformata Fouriera jest (modulo stała) izometrią na gęstej podprzestrzeni L^2 - daje się przedłużyć na całe L^2. Własności transformaty na L^2 - izometryczność i unitarność (po znormalizowaniu), wzór na transformatę odwrotną.