Matematyka obliczeniowa - �wiczenia

Aktualno�ci

Tre�ci omawiane na �wiczeniach

1. Metody rozwi�zywania r�wna� nieliniowych. Tre�ci wybranych zada� i szkice rozwi�za� (PDF).

   1. Twierdzenie o globalnej zbie�no�ci metody Newtona, gdy funkcja jest rosn�ca i wypuk�a.
   2. Lokalna i globalna zbie�no�� metody Newtona dla wyznaczania pierwiastka kwadratowego, f(x) = x²-a.
   3. Twierdzenie o rz�dzie zbie�no�ci iteracji prostej x_n+1 = F(x_n), gdy w punkcie sta�ym F ma p zerowych pochodnych.
   4. Zastosowanie w/w do metody Newtona, gdy f''(x^*) = 0, ale f'(x^*) nie zeruje si�: zbie�no�� kubiczna Newtona.
   5. Zastosowanie w/w do metody Newtona, gdy x^* jest zerem m-krotnym f, ale f'(x) nie zeruje si� poza x^*: zbie�no�� liniowa ze wsp�czynnikiem asymptotycznie r�wnym (1 - 1/m). Pytanie do zastanowienia: jak poprawi� metod� Newtona, aby uzyska� na nowo kwadratow� zbie�no��?
   6. Dzielenie bez dzielenia metod� Newtona: warunek zbie�no�ci.

2. Metody dla r�wna� nieliniowych - c.d. W�asno�ci arytmetyki fl.

   1. Rz�d uproszczonej metody Newtona. Do zastanowienia: dow�d rz�du metody Steffensena.
   2. Wyb�r przybli�enia pocz�tkowego dla metody Newtona wyznaczania 1/a - oparty na reprezentacji liczb w fl. Koszt iteracji gwarantuj�cej wyznaczenie rozwi�zania w pojedynczej precyzji. Do zastanowienia: to samo, dla metody Herona wyznaczania pierwiastka.
   3. R�wnanie rekurencyjne: katastrofalna niestabilno�� oraz znakomita stabilno��.
   4. Praca domowa: na 12.03.10. (zadana na �wiczeniach).

3. Uwarunkowanie prostych zada�. Numeryczna poprawno�� prostych algorytm�w. Algorytm Hornera, jego koszt i numeryczna poprawno��.

4. 1. Algorytm rozwi�zywania uk�adu r�wna� z macierz� tr�jdiagonaln�.
   2. Przyk�ad katastrofalnych skutk�w braku wyboru elementu g��wnego.
   3. Metoda Cholesky'ego-Banachiewicza.
   4. Rozk�ad LDL^T macierzy symetrycznej dodatnio okre�lonej.
5. Obroty Givensa. Zadanie najmniejszych kwadrat�w - przyk�ad, dlaczego r�wnania normalne nie musz� by� dobre. LZNK przez macierz rozszerzon�. Inne zadania. Praca domowa na po �wi�tach.
6. Normy macierzowe. Uwarunkowanie. Inne zadania. Do zastanowienia: jakie jest uwarunkowanie macierzy rozszerzonej LZNK w por�wnaniu z uwarunkowaniem macierzy normalnej.
7. Interpolacja Lagrange'a. Zadanie z tabelk�, b��d interpolacji.
8. Om�wienie kolokwium. FFT dla danych rzeczywistych. Praca domowa na 30.04.10.
9. Praca domowa na 21.05.10.

Zasady zaliczenia

�wiczenia b�d� zaliczane na podstawie kolokwium (30 pkt), prac domowych (20 pkt) oraz oceny z laboratorium (10 pkt) (razem max. 60 punkt�w). Zalicza przynajmniej 30 punkt�w. Nie mo�na przyst�pi� do egzaminu bez zaliczenia �wicze�.

Prace domowe b�d� zadawane mniej wi�cej raz na dwa tygodnie. Po terminie prace nie b�d� sprawdzane.

Za ka�de zadanie z pracy domowej mo�na otrzyma� maksymalnie 3 punkty. Suma uzyskanych punkt�w z prac domowych zostanie na koniec semestru znormalizowana tak, by 100% punkt�w odpowiada�o 20 punktom, o kt�rych mowa powy�ej.

B�dzie jedno kolokwium wsp�lne dla obu potok�w w czasie wyk�adu, prawdopodobnie dnia 15.04.10.