Model Isinga jest uproszczonym modelem ferromagnetyku, w którym spiny reagujące na pole magnetyczne są umieszczone w węzłach siatki. Jest to matematycznie ścisły model opisany w terminach elementarnego rachunku prawdopodobieństwa. Udowodnię istnienie tzw. granicy termodynamicznej przy swobodnych warunkach brzegowych, tzn. gdy rozmiary ferromagnetyku rosną do nieskończoności.

Model Kaluzy-Kleina jest teorią fizyczną powstałą w latach dwudziestych ubiegłego wieku podejmującą próbę unifikacji oddziaływań fundamentalnych. Pomysł Kaluzy-Kleina polega na rozszerzeniu czterowymiarowej czasoprzestrzeni M do pięciowymiarowej rozmaitości (wiązki okręgów nad M). Okazuje się, że odpowiednik równań Einsteina na tej pięciowymiarowej rozmaitości koduje jednocześnie zwykłe, czterowymiarowe równania Einsteina (opisujące grawitację) jak też równania Maxwella (opisujące pole elektromagnetyczne).
Naturalnym rozwinięciem koncepcji Kaluzy-Kleina jest teoria Yanga-Millsa czy teoria strun. Zamiast wiązki okręgów rozpatrujemy wiązki, których włókna są wyżej wymiarowymi, zwartymi grupami Liego (np. SU(2)).

Mechanika statystyczna opisuje układy oddziałujących cząstek. W stanie równowagi układ minimalizuje swoją energię swobodną. Wyprowadzimy z tej zasady niezwykle ciekawe wnioski dotyczące ferromagnetyzmu, kwazikryształów, teorii ergodycznej a nawet zahaczymy o maszynę Turinga.

1. Dlaczego żelazo jest magnesem? Elementarny dowód spontanicznego złamania symetrii w modelu Isinga.
2. O problemie kryształu i kontrprzykładzie kwazikryształu. Nieokresowy porządek w stanach podstawowych klasycznych gazów sieciowych.
3. Elementy teorii ergodycznej, uklady dynamiczne skończonego typu.

Całki funkcjonalne pojawiły się najpierw w mechanice kwantowej przy feynmanowskiej interpretacji tzw. amplitud przejścia w postaci sumy po możliwych trajektoriach klasycznych cząstki. Okazały się one następnie przydatne w kwantowej teorii pola. Ja się skoncentruję na przypadku, gdy te całki funkcjonalne sprowadzają się do liczenia średnich od iloczynów gaussowskich zmiennych losowych.

1. Klasyczna interpretacja równań Kortevega -- de Vriesa. Soliton. Wielosolitonowe rozwiązanie równania KdV.
2. Pojawianie się równań KdV w problemie Sturma -- Liouvilla. Ogólnie o symetriach równań. Hierarchie równań KdV. Pierwiastki z operatorów różniczkowych.
3. Funkcja tau dla równania KdV i jej związek z rozwiązaniem równania. Konstrukcja funkcji tau dla punktu w grassmanianie. Ten wykład może wymagać trochę większych podstaw matematycznych, jak przestrzenie Hilberta.
4. Związki równań KdV z reprezentacjami fermionów i bozonów. Ten wykład może wymagać trochę większej wiedzy z fizyki. Można ją będzie zdobyć np. słuchając wykładu prof. Żołądka o całkach funkcjonalnych.