Materialy z Analizy I
Maciej Borodzik
Semestr letni 2025/26
Zadania na wypukłość.
-
Wykaż, że dla dowolnych parametrów $a,b$, równanie $\tan x=ax+b$ ma co najwyżej trzy rozwiązania rzeczywiste.
-
Korzystając z wypukłości odpowiedniej funkcji wykaż, że spośród wszystkich trójkątów opisanych na okręgu o promieniu $1$,
najmniejszy obwód ma trójkąt równoboczny.
-
Korzystając z wypukłości odpowiedniej funkcji wykaż, że spośród wszystkich pięciokątów wpisanych w okrąg największe pole ma pięciokąt
foremny.
-
Przypuśćmy, że $x,y,z>0$ oraz $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. Wykaż, że $(x-1)(y-1)(z-1)\ge 8$.
-
Przypuśćmy, że $x,y,z>0$ oraz $x+y+z=xyz$. Wykaż, że
\[\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\le \frac{3}{4}.\]
-
Przypuśćmy, że $x,y,z>0$ oraz $x+y+z\ge 1$. Udowodnij, że
\[\frac{x\sqrt{x}}{y+z}+\frac{y\sqrt{y}}{x+z}+\frac{z\sqrt{z}}{x+y}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}.\]
Zestawy zadań.
Rok 2011/12
Rok 2005/06