<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt]{amsart}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{pstricks}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1.5cm}
\addtolength{\evensidemargin}{-2cm}
\addtolength{\footskip}{-2cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\pagestyle{empty}
\addtolength{\textwidth}{3cm}
\addtolength{\textheight}{4cm}
\theoremstyle{definition}
\DeclareMathOperator{\dv}{div}
%\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator{\const}{const}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\hodge}{\ast}
\newtheorem{zad}{Zadanie}
\newtheorem{uw}{Uwaga}
\newtheorem{tw}{Twierdzenie}
\newtheorem{dfn}{Definicja}
\newtheorem{lemma}{Lemat}
\renewcommand{\proofname}{Rozwiązanie}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\numberwithin{zad}{section}
\begin{document}
\section{Zadania z AM 1.2}
Lista zadań będzie sukcesywnie uzupełniana. Wskazane jest robienie samodzielne zadań. Można przyjść i sie zapytać,
czy dane rozwiązanie jest poprawne.

\smallskip

\begin{zad}
Wykaż, że dla $x\ge 0$ zachodzi $x-\frac{x^2}{2}\le\ln(1+x)\le x$.
\end{zad}
\begin{zad}
Oblicz $\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}(\tg x)^{\tg 2x}$.
\end{zad}
\begin{zad}
Oblicz pochodną $\frac{d^{1000}}{dx^{1000}}[(1-x^2)^2(1+x)]$.
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $F(x)=\frac{1}{1-x}\frac{1}{1-x^2}\frac{1}{1-x^5}$. Niech $M=1000!\frac{d^{1000}F}{dx^{1000}}(0)$. Wykaż, że $M$ jest liczbą sposobów, na jakie można
rozmienić 1000 złotych na monety 1, 2 i 5 złotowe.
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $f$ będzie taką funkcją określoną w pewnym otoczeniu $0$, że $f(x)=1+kx+o(1)$ dla pewnego $k\in\R$. Udowodnij, że
\[\lim_{x\to 0}f(x)^{1/k}=e^k.\]
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $f\colon\R\to\R$ będzie dwukrotnie różniczkowalna. Dla $i=0,1,2$ niech $M_i=\sup_{x\in\R}|f^{(i)}(x)|$ (powszechnie przyjęta konwencja jest
taka, że $f^{(0)}=f$). Przypuśćmy, że $M_0,M_1,M_2&lt;\infty$. Udowodnij, że $M_1^2\le 2M_0M_2$.
\end{zad}
\begin{zad}
Znajdź przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=x+|\sin 2x|$ oraz $g(x)=\frac{x^2}{2^x}$.
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $A$ będzie macierzą $n\times n$. Niech $F(t)=\det(I+tA)$, gdzie $I$ jest macierzą jednostkową. Wykaż, że $F'(0)=\Tr A$.
\end{zad}
\begin{zad}
Wykazać, że dla dowolnych $x&gt;0$ zachodzą nierówności:
\[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x&lt;e&lt;\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}.\]
\end{zad}
\begin{zad}
Korzystając z poprzedniego zadania wykaż, że dla dowolnego $x&gt;0$ zachodzi $\frac{1}{x+1}\le\ln(x+1)-\ln x\le\frac{1}{x}$. Udowodnij, że
istnieje granica $\lim_{n\to\infty}1+\frac12+\frac13+\dots+\frac1n-\ln n$.
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $f\colon\R\to\R$ będzie klasy $C^1$ i $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty$. Przypuśćmy, że istnieje dokładnie $k$ punktów $x_1,\dots,x_k$ o tej
własności, że $f'(x_k)=0$. Wykaż, że dla dowolnego $y\in\R$ zbiór $f^{-1}(-\infty,y)$ składa się pewnej liczby przedziałów $j(y)$, przy czym
$j(y)\le k+1$.
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $f\colon\R\to\R$ będzie wypukła. Wykaż, $f$ nie ma ani jednego maksimum lokalnego i co najwyżej jedno minimum lokalne. Jeśli ponadto $f$ ma 
jedno minimum lokalne, to jest to również minimum globalne.
\end{zad}
\begin{zad}
Dla z góry ustalonego $N\ge 0$ skonstruuj dwie funkcje wypukłe z $\R$ do $\R$, których wykresy mają dokładnie $N$ punktów wspólnych.
\end{zad}
\begin{zad}
Uzasadnij, że spośród wszystkich 2012-kątów \emph{wpisanych} w okrąg o promieniu $1$ \emph{największe} pole ma 2012-kąt foremny.
\end{zad}
\begin{zad}
Wykaż, że spośród wszystkich 23122012-kątów \emph{opisanych} na okręgu, \emph{najmniejsze} pole ma 23122012-kąt foremny.
\end{zad}
\begin{zad}
Zbadać punkty skupienia ciągu $a_n=n!e-[n!e]$, gdzie $[\cdot]$ oznacza część całkowitą.
\end{zad}
\begin{zad}
Oblicz granicę
\[\lim_{x\to 0}\frac{e^{x/(x+1)}-1}{\sin x}.\]
\end{zad}
\begin{zad}
Podaj przykład takiej funkcji $f\colon[0,\infty)$, że
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $f$ jest jednostajnie ciągła na $[0,\infty)$.
\item[$\bullet$] $\lim\sup_{x\to\infty} f(x)=+\infty$.
\item[$\bullet$] $\lim\inf_{x\to\infty} f(x)=-\infty$.
\item[$\bullet$] $\lim\sup_{x\to\infty} |f'(x)|=\infty$.
\end{itemize}
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $P_n$ będzie ciągiem wielomianów rzeczywistych. Przypuśćmy, że $P_n$ jest zbieżny jednostajnie na całym $\R$. Wykaż, że
istnieją takie $N$ i $k$, że dla każdego $n&gt;N$ zachodzi $\deg P_n=k$.
\end{zad}
\begin{zad}
Oblicz granicę
\[\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-e^{-x^2/2}}{x^4}.\]
\end{zad}
\begin{zad}
Oblicz granicę
\[\lim_{x\to 0}\frac{\cosh x-\cos x}{x^2}.\]
\end{zad}
\begin{zad}
Oblicz
\[\lim_{x\to\infty}\left[(x+1)^{1+\frac1x}-x^{1+\frac{1}{x+1}}\right].\]
\end{zad}
\begin{zad}
Oblicz
\[\lim_{x\to\infty} x^{3/2}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}).\]
\end{zad}
\begin{zad}
Znajdź ekstrema funkcji $e^{-x^2}\cos(x^2)$ dla $x\in(-\infty,\infty)$.
\end{zad}
\begin{zad}
Wykaż, że dla $|x|\le 2$ zachodzi $|3x-x^3|\le 2$.
\end{zad}
\begin{zad}
Zbadać zbieżność jednostajną ciągu funkcji $f_n(x)=n\ln(1+\frac{x^2}{n^2})$ dla $x\in\R$ oraz $g_n=n^{-1}\ln(1+\frac{x^2}{n^2})$.
\end{zad}
\begin{zad}
Zbadać zbieżność jednostajną ciągu funkcji $f_n(x)=n\left(\sqrt[n]{x}-1\right)$ dla $x\in[1,a]$, gdzie $a&gt;1$ -- parametr.
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $f\colon\R\to\R$ ciągła. Oznaczamy $f_n(x)=f(x+\frac{1}{2^n})$. Wykazać, że jeśli $f$ jest jednostajnie ciągła, to $f_n$ zbiega jednostajnie do $f$.
Czy zachodzi implikacja odwrotna?
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $f\colon\R\to\R$ będzie taka, że $f'$ jest jednostajnie ciągła. Wykazać, że ciąg funkcji $n\left(f(x+1/n)-f(x)\right)$ zbiega jednostajnie
do $f'(x)$. Podać przykład, że założenie o jednostajnej ciągłości jest istotne.
\end{zad}
\begin{zad}
Zbadaj, na jakich zbiorach szereg
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^n}}\]
jest zbieżny, a na jakich zbieżny jednostajnie.
\end{zad}
\begin{zad}
Rozwiń w szereg Taylora funkcję $\frac{e^x}{1-x}$ w punkcie $0$ i znajdź jego promień zbieżności.
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $f(x)=\sum x^{2^n}$. Wykaż, że istnieje takie $M$, że dla wszyskich $x\in(-1,1)$ zachodzi $|f(x)|\le M(1-|x|)$.
\end{zad}
\begin{zad}
Wykaż, że dla $x\in(-1,1)$ zachodzi
\[\arc\sin x=x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}x^{2n+1}.\]
\end{zad}
\begin{zad}
Znajdź promień zbieżności szeregu potęgowego dla $\arc\sin x$.
\end{zad}
\begin{zad}
Oblicz całki:
\[
\begin{array}{rrr}
\int e^{2x}\cos x dx&amp; \int x^3\tg x dx&amp;\int\frac{\sinh\sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx\\
\int\frac{1}{3+\sin x} dx&amp;\int \frac{5x}{(x-1)^2(x+2)} dx&amp;\int\frac{1}{(x^2+1)^2} dx\\
\int\ln \ln x dx&amp;\int\frac{\sin x}{3+\cos^2 x} dx&amp;\int \frac{3x+1}{\sqrt[3]{x^3+x+1}} dx\\
\int\frac{1}{1-x^2}\ln\frac{1+x}{1-x} dx&amp;\int\frac{x}{\sqrt{1+x^2+\sqrt{(1+x^2)^3}}} dx&amp;\int x\sqrt{2x-5} dx\\
\int\frac{1}{1+e^x} dx&amp;\int\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx&amp;\int\sqrt{x}(\ln x)^2 dx.
\end{array}
\]
\end{zad}
\begin{zad}
Wykaż, że $\theta$ funkcja zadana wzorem
\[\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2x}\]
jest nieskończenie razy różniczkowalna na zbiorze $x&gt;0$.
\end{zad}
\begin{zad}
Wykaż, że ciąg $f_n(x)=\frac1n\arc\tan x^n$ jest jednostajnie zbieżny na $(-\infty,\infty)$, mimo to
\[\left(\lim_{n\to\infty} f_n(x)\right)'_{x=1}\neq \lim_{n\to\infty}f'_n(1).\]
\end{zad}
\begin{zad}
Dla jakich $x$ wzór
\[f(x)=\sum_{n=1}^\infty\left(x+\frac1n\right)^n\]
zadaje dobrze określoną funkcję? W jakich punktach jest ona ciągła?
\end{zad}
\begin{zad}
Wykaż, że szereg
\[\sum_{n=1}^\infty\left(nxe^{-nx}-(n-1)xe^{-(n-1)x}\right)\]
schodzi się niejednostajnie na $[0,1]$, ale jego suma jest ciągła.
\end{zad}
\begin{zad}
Przypuśćmy, że szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny. Wykaż, że szereg Dirichleta
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^x}\]
schodzi się jednostajnie po $x\ge 0$.
\end{zad}

\section{Zadania za 1 punkt}
Jeden punkt jest do rozdzielenia pomiędzy wszystkie osoby, które przed 15 maja oddadzą dane zadanie. Punkty mają kluczowe znaczenie w ``wyścigu
po rekomendację'': 3--4 najlepsze osoby taką rekomendację uzyskają.

\smallskip
\begin{zad}
Niech $a_0=1$ oraz $a_n=\sin a_{n-1}$. Wykaż, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}a_n=\sqrt{3}$.
\end{zad}
\begin{zad}
Liczby całkowite dodatnie, które w rozwinięciu dziesiętnym nie zawierają cyfry $9$ ustawiamy w ciąg rosnący: $1,2,\dots,8,10,11,\dots,88,\dots,100,\dots$.
Oznaczmy przez $a_n$ $n$-ty wyraz ciągu. Zbadaj zbieżność szeregu $\sum\frac{1}{a_n}$.
\end{zad}
\begin{zad}
Oblicz granicę {\green poprawiony wzór!}
\[\lim_{n\to\infty}e^{-n}\sum_{j=0}^n\frac{n^j}{j!}.\]
\end{zad}
\begin{zad}
Dla $\phi\in[0,2\pi]$ obliczyć nieskończoną sumę
\[s=\cos^3\phi-\frac13\cos^33\phi+\frac{1}{3^2}\cos^33^2\phi-\dots.\]
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $f\colon\R\to\R$ będzie niestałą funkcją ciągłą i okresową o okresie $2\pi$. Przypuśćmy, że istnieje takie $n$, że
\begin{multline*}
\int_0^{2\pi}f(x)dx=\int_0^{2\pi}f(x)\cos x=\int_0^{2\pi}f(x)\sin x=\int_0^{2\pi}f(x)\cos 2x=\dots=\\
=\int_0^{2\pi}f(x)\cos nx=\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx=0.
\end{multline*}
Wykaż, że na dowolnym przedziale postaci $[a,a+2\pi]$, funkcja $f$ zmienia znak co najmniej $2n+2$ razy.
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $\xi$ oznacza jedyną liczbę rzeczywistą taką, że $\xi e^{1+\xi}=1$. Dla $n&gt;1$, niech $x_n$ oznacza jedyny rzeczywisty pierwiastek równania
\[1+x_n+\frac{x_n^2}{2!}+\dots+\frac{x_n^n}{n!}=0.\]
Wykaż, że 
\[x_n=\xi n+\frac12\frac{\xi}{1+\xi}\ln n+\frac{\xi}{1+\xi}\ln\left(\sqrt{2\pi}\frac{1+\xi}{\xi}\right)+o(1).\]
\end{zad}
\begin{zad}
Oblicz granicę
\[\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}-\ln 2\right).\]
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $f\colon\R\to\R$ będzie klasy $C^\infty$. O $f$ powiemy, że jest analityczna w punkcie $x_0$, jeśli istnieje take $\varepsilon&gt;0$, że dla każdego
$x\in(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$ zachodzi
\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.\]
Niech $U$ oznacza zbiór punktów, dla których $f$ jest analityczna. Udowodnij, że $U$ jest otwarty. Wykorzystaj to do skonstruowania funkcji $f$, która
jest klasy $C^\infty$ ale nie jest analityczna w żadnym punkcie.
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $n$ i $s$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Niech
\[N=\#\left\{(x,y,z)\in\Z^3\colon -n\le x,y,z\le n\text{ oraz } -s\le x+y+z\le s\right\}.\]
Wykaż, że
\[N=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \left(\frac{\sin\frac{2n+1}{2}t}{\sin\frac{t}{2}}\right)^3\frac{\sin\frac{2s+1}{2}t}{\sin\frac{t}{2}}\,dt.\]
\end{zad}
\begin{zad}
Niech $f$ będzie klasy $C^2$ taka, że $\lim_{x\to\infty} f(x)+f'(x)+f''(x)=0$. 
Wykaż, że $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$. Czy teza pozostaje prawdziwa, jeśli $f+f'+f''$ zastąpimy
przez $f+f'+f''+f^{(3)}$?
\end{zad}
\begin{zad}
Dla ustalonego $n$, niech $a_{n1},\dots,a_{nk_n}$ oznacza wszystkie ułamki nieskracalne postaci $\frac{p}{q}$, gdzie $0\leq p\leq q\le n$, uszeregowane od
najmniejszego do największego, na przykład dla $n=4$ mamy ciąg $\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac12,\frac23,\frac34,\frac11$.
Niech $d_{nm}=|a_{n,m}-\frac{m}{k_n}|$. Wykaż, że dla dowolnego $r&gt;\frac12$ zachodzi
\[\lim_{n\to\infty} n^{-r}\sum_{m=0}^{k_n}d_{nm}=0.\]
\end{zad}
\begin{zad}
Zbadać zbieżność oraz zbieżność jednostajną szeregu
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{nx-\lfloor nx\rfloor-\frac12}{n}\]
dla $x\in[0,1]$.
\end{zad}
\end{document}
</pre></body></html>