|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: diofantyczne.tex
% Created: Tue Mar 05 11:00 AM 2013 C
% Last Change: Tue Mar 05 11:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{6cm}
\def\headpicture{diofantos.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{5 marca 2013}
\begin{document}
\section{Diofantyczne}
\emph{Potrzebna teoria ogranicza się do kongruencji i~jest zawarta
w~\emph{123}$\infty$.}
\subsection*{Zestaw pierwszy, z~sosem łagodnym}
\begin{problem}
Niech $x, y, z$ będą liczbami całkowitymi. Wykaż, że jeżeli $7\big|x^3 + y^3 + z^3$, to $7\big|xyz$.
\end{problem}
\begin{problem}
Wykaż, że jeżeli liczby całkowite $x, y, z$ są takie, że $8\big|x^2 + y^2 + z^2 - 2$, to któraś z~liczb $x, y, z$
jest podzielna przez $4$.
\end{problem}
\begin{problem}[Z~123$\infty$]
Pokaż, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ liczba
$2^{4^{n}} + 5$ jest podzielna przez $21$.
\end{problem}
\subsection*{Zestaw drugi, ostrzejszy}
\begin{problem}
Znajdź liczby całkowite $n$ będące rozwiązaniami równania
\[
25^n + 4^n + 1 = 10^n + 5^n + 2^n.
\]
\end{problem}
\begin{problem}
Rozwiąż w~liczbach całkowitych $\varphi, \psi$ równanie $\varphi^2 + \varphi\cdot
\psi + \psi^2 = 7$.
\end{problem}
\subsection*{Zestaw trzeci, ostry}
\begin{problem}
Znajdź wszystkie rozwiązania równania $15A^2 - 7B^2 = 9$ w~liczbach
całkowitych $A, B$.
\end{problem}
\begin{problem}
Znajdź wszystkie rozwiązania równania $5b^3 + 11o^3 + 13k^3 = 0$ w~liczbach
całkowitych $b, o, k$.
\end{problem}
\begin{problem}[Rozwiązania równania Pella, zadanie teoretyczne]
Chcemy pokazać, że równanie $x^2 - 2y^2 = 1$ ma nieskończenie wiele
rozwiązań w~liczbach całkowitych.
\begin{enumerate}
\item Znajdź jedno rozwiązanie $(x_0, y_0)$ tego równania. Zauważ, że
równanie można zapisać jako
\[(x_0 - y_0\sqrt{2})(x_0 + y_0\sqrt{2}) = 1.\]
\item Zapisz liczbę $(x_0 + y_0\sqrt{2})^2$ jako $x_1 + y_1\sqrt{2}$,
uzasadnij, że $(x_1, y_1)$ jest również rozwiązaniem równania,
\item Uzasadnij tezę zadania.
\end{enumerate}
\end{problem}
\end{document}
|
