|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: funkcje.tex
% Created: Mon Jan 07 10:00 PM 2013 C
% Last Change: Mon Jan 07 10:00 PM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=27cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{9cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{8 stycznia 2012}
\begin{document}
\section{Równania funkcyjne}
Funkcje mogą być dowolne. Bardzo dowolne. I~bardzo ohydne. Tak, również tak
ohydne. Nie muszą być liniowe. Nie muszą być wielomianami. Nie muszą być
czymkolwiek ;) Główną metodą rozwiązywania równań funkcyjnych jest
podstawianie za zmienne, żeby uzyskać nowe równania, a~potem skracanie ze
starymi równaniami.
Warto, niezależnie od tego, czy użyje się tego w~rozwiązaniu podstawiać (przy
założeniu, że równanie uwzględnia zmienne $x, y$): $x =
0$, $x = y$, $x = f(y)$ itd., żeby skróciło się. Często przydaje się
policzenie wartości w~konkretnym punkcie np. $f(0)$, co pokazuje trudności.
I~oczywiście, zawsze warto zgadnąć odpowiedź.
Cześć zadań wzięta z~\texttt{http://kmo.umcs.lublin.pl/}. Dziękuję!
\begin{problem}[Milusie podstawienia, Śląski konkurs mat.]
Funkcja $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ spełnia dla każdej liczby
rzeczywistej równość
\[
2f(x) + f(1-x) = 3x.
\]
Znajdź wszystkie takie funkcje.
\end{problem}
\begin{problem}[Milusie podstawienia, jadziem dalej (i~dłużej)]
Znajdź wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ spełniające, dla
każdych $x, y \in \mathbb{R}$, równanie (są cztery różne podpunkty):
\begin{enumerate}
\item $f(x+ y) = f(x) - f(y)$,
\item $f(x+y) = f(f(x)) + y$,
\item $xf(x) + yf(y) = (x+y)f(x)f(y)$,
\item $f(y)f(x) - xy = f(x) + f(y) - 1$.
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{problem}[Funkcje na wymiernych]
Funkcja $f: \mathbb{R}\in \mathbb{R}$ spełnia warunki
\begin{enumerate}
\item $f(x + y) = f(x) + f(y)$ dla dowolnych $x, y \in \mathbb{R}$,
\item $f(1) = 1$.
\end{enumerate}
Wyznacz $f(9/32)$.
\end{problem}
\begin{problem}[Ograniczoność]
Znajdź wszystkie funkcje $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bezwzględnie
ograniczone (\emph{tzn. takie, że
istnieje stała $C_f$ taka, że $\forall_{x\in \mathbb{R}} |f(x)| \leq C_f$})
i~spełniające, dla wszystkich rzeczywistych $x, y$, równanie $f(x+y) = f(x) +
f(y)$.
\end{problem}
\begin{problem}[Paskudne dziedziny]
Wyznaczyć wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\setminus\left\{ 0, 1 \right\}\to
\mathbb{R}$ spełniające równanie
\[
f(x) + f\left( \frac{x-1}{x} \right) = 1 + x \qquad \mbox{ dla każdego } x\in
\mathbb{R}\setminus\left\{ 0, 1 \right\}.
\]
\end{problem}
\begin{problem}[Monotoniczność, z~LXI OM]
Wyznaczyć wszystkie takie funkcje monotoniczne $f:\mathbb{R}\to
\mathbb{R}$, że dla dowolnych $x, y\in \mathbb{R}$ zachodzi równość
\[
f\left( f(x) - y \right) + f(x + y) = 0.
\]
\end{problem}
\rule{\linewidth}{0.2mm}
\begin{problem}
Rozwiązać w~liczbach rzeczywistych $x, y, z$ układ równań
\[
\begin{cases}
x^2 - (y+z+yz)x + (y+z)yz = 0 &\\
y^2 - (z+x+zx)y + (z+x)zx = 0 &\\
z^2 - (x+y+xy)z + (x+y)xy = 0.
\end{cases}
\]
\end{problem}
\begin{problem}
W~pięciokącie wypukłym $ABCDE$ wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary.
Wykazać, że symetralna odcinka $EA$, symetralna odcinka $BC$ i~dwusieczna
kąta $CDE$ przecinają się w~jednym punkcie.
\end{problem}
\end{document}
|
