|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: jednokladnosc.tex
% Created: Wed Dec 19 11:00 AM 2012 C
% Last Change: Wed Dec 19 11:00 AM 2012 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{3cm}
\includegraphics[origin=c,width=3cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{8cm}
\def\headpicture{feuerbach-letni}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{19 grudnia 2012}
\begin{document}
\section{Jednokładność\\\large Radosnych Świąt!}
\emph{Poniższe kółko w~znacznej mierze jest wzięte z~poprzedniego kółka
o~jednokładności, rozwiązania do większości zadań można znaleźć na
{\normalfont\url{http://matma.ilo.pl/images/jedn260109r.pdf}}}
\begin{defn}
Jednokładnością o skali $k$ ($k\neq 0$) względem punktu $O$ (który nazywamy środkiem
jednokładności) nazywamy przekształcenie płaszczyzny (lub przestrzeni) które każdemu
punktowi $A$ przyporządkowuje punkt $A'$, taki, że:
\begin{enumerate}
\item punkty $A,O,A'$ są współliniowe,
\item $|OA'|=|k|\cdot |OA|$,
\item jeżeli $k < 0$ to $A, A'$ leżą po różnych stronach $O$, a jeżeli
$k > 0$, to po tej samej.
\end{enumerate}
\end{defn}
Jednokładnością o~skali $-1$ jest po prostu symetria względem $O$. Jeżeli ktoś
lubi wektory, to może przeformułować definicję w~języku wektorów~--- z~grubsza
jest to mnożenie przez $k$ wektora pomiędzy punktem a~$O$.
\paragraph{Własności jednokładności}
\begin{enumerate}
\item Jednokładność przenosi proste na proste i~zachowuje kąty pomiędzy
prostymi, w~szczególności przenosi proste równoległe na równoległe,
\item\label{odc} Jednokładność przenosi odcinek na odcinek $|k|$ razy dłuższy, więc
zachowuje stosunki odcinków,
\def\B{\mathcal{B}}
\def\A{\mathcal{A}}
\item Z~\ref{odc} wynika, że jednokładność przenosi okręgi na okręgi.
\item Z~poprzednich punktów wynika też, że jeżeli jednokładność przenosi
trójkąt $\mathcal{A}$ na $\B$, to przenosi środek okręgu $\A$ na
środek okręgu $\B$, ortocentrum $\A$ na ortocentrum $\B$ itd.
Z~grubsza zachowuje całą sytuację geometryczną.
\item Jednokładność czasem pozwala udowodnić przedziwne rzeczy w~sposób
prosty. Warto o~niej pamiętać np. jeżeli mamy dwa okręgi styczne.
\end{enumerate}
\subsection*{Zadania bez jednokładności.}
\begin{problem}
Udowodnij, że środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ jest ortocentrum
trójkąta $A'B'C'$ utworzonego przez środki boków $ \triangle ABC$.
\end{problem}
\begin{problem}
Pokaż, że środki ciężkości trójkąta $ABC$ i~trójkąta utworzonego przez
środki boków $ \triangle ABC$ pokrywają się.
\end{problem}
\subsection*{Zadania $\neg$bez~jednokładności.}
\begin{problem}
Punkt $P$ leży wewnątrz czworokąta wypukłego $ABCD$. Dowiedź, że
\begin{enumerate}
\item środki boków $ABCD$ tworzą równoległobok.
\item środki ciężkości trójkątów $ \triangle ABC, \triangle BCD,
\triangle CDA, \triangle DAB$ tworzą równoległobok.
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{problem}
Okrąg wpisany w $\triangle ABC$ jest styczny do $AB$ w punkcie $E$, a~odcinek
$EF$ jest średnicą tego okręgu. Okrąg dopisany do boku $AB$ trójkąta $ABC$
jest styczny do tego boku w $G$. Wykaż, że punkty $C,F,G$ są
współliniowe.
\end{problem}
\begin{problem}
Okręgi $O_1$ i $O_2$ są styczne wewnętrznie w punkcie $P$ ($O_2$ ma
mniejszy promień od $O_1$). Cięciwa $AB$
okręgu $O_1$ jest styczna do okręgu $O_2$ w $M$. Uzasadnij, że $PM$ jest
dwusieczną kąta $\angle APB$.
\end{problem}
\begin{problem}[prosta Eulera]
Wykaż, że w~trójkącie $ABC$ środek ciężkości $M$, ortocentrum
$H$ i środek okręgu opisanego $O$ leżą na jednej prostej.
Przy założeniu, że $ \triangle ABC$ nie jest równoboczny udowodnij, że
$H\neq M$ i~znajdź stosunek $OM/HM$.
\end{problem}
\begin{problem}[okrąg Feuerbacha, dziewięciu punktów]
Niech $H$ i~$O$ oznaczają ortocentrum i~środek okręgu opisanego na
trójkącie $ABC$.
Udowodnij, że istnieje okrąg przechodzący przez środki boków $ \triangle
ABC$, spodki wysokości w~trójkącie $ABC$ i~środki odcinków łączących
wierzchołki z~$H$.
\emph{Okrąg ten nazywa się okręgiem Feuerbacha.}
\end{problem}
\begin{problem}
Dany jest sześciokąt $ABCDEF$. Wykazać, że środki ciężkości trójkątów
$ABC, BCD, CDE, DEF, EFA$ i~$FAB$ tworzą sześciokąt, w~którym
przeciwległe boki są równoległe i równe.
\end{problem}
\vspace{1cm}
\includegraphics{feuerbach-letni}
\end{document}
|
