Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: wto kwi 27 11:00  2010 C
% Last Change: wto kwi 27 11:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newtheorem{problem}[thm]{Zadanie}
\newenvironment{proof}{\noindent\textsc{Dowód.}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}{\noindent\textsc{Rozwiązanie. }}
{\par}
 
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
 
\renewcommand{\thethm}{}
 
\section{Wspominki po finale}
 
\subsection{Małe twierdzenie Fermata, twierdzenie Lagrange}
\begin{enumerate}
    \item Znajdź wszystkie liczby pierwsze $p$, takie, że
            $$p | \underbrace{11\dots1}_p$$
        \source{H. Pawłowski}
    \item Liczba pierwsza $p$ jest postaci $5k+2$, gdzie $k\in
        \mathbb{Z}$. Uzasadnić, że
        $$a^5 \equiv b^5 \mod p \Rightarrow a\equiv b\mod p$$
    \item Wyznaczyć najmniejszą taką liczbę pierwszą $p$, że liczba
        $$2^{120!}-1$$
        jest podzielna przez $p$ i nie jest podzielna przez $p^2$.
        \source{Zwardoń 2007}
    \item Niech $p \geq 5$ będzie liczbą pierwszą. Udowodnij, że istnieje
        takie $n$ naturalne, że
        $$p|2^n + 3^n + 6^n - 1$$
        \emph{Wskazówka: zgadnij to $n$ :)}
        \source{Mathlinks}
    \item Niech $a,b,c\in \mathbb{Z}$ będą takie, że $a+b+c=0$. Rozstrzygnij,
        czy $a^{61} + b^{61} + c^{61}$ może być liczbą pierwszą.
        \source{Mathlinks}
\end{enumerate}
 
\subsection{Reszty kwadratowe -- teoria}
 
We wszystkich poniższych zadaniach dana jest liczba pierwsza $p > 2$.
 
\begin{defn}
    Liczbę $a$ nazywamy resztą kwadratową $\mod p$, jeżeli istnieje takie
    $b\in \mathbb{Z}$, że $a \equiv b^2 \mod p$.
\end{defn}
 
\begin{enumerate}
    \item\begin{enumerate}
        \item Uzasadnij, że jeżeli $k^2 \equiv l^2 \mod p$, to
            $$k\equiv l \mod p \hbox{ lub } k\equiv -l \mod p$$
        \item Oblicz ile jest reszt kwadratowych $\mod p$.
        \item Udowodnij, że liczba $a$ jest resztą kwadratową $\mod p$ wtedy i
            tylko wtedy, gdy
            $$a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \mod p$$
        \item Stwierdź, które liczby są resztami kwadratowymi $\mod 11$, a które
            $\mod 13$. Spróbuj znaleźć pewne prawidłowości w obu przypadkach,
            udowodnij je.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}