Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: mlodsi.tex
%     Created: Sun Jan 08 04:00 PM 2012 C
% Last Change: Sun Jan 08 04:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 26cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
%\include{style}
 
\def\headpicture{./kres.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{10 stycznia 2012}
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-2cm}
\section{Kąty w~okręgu}
 
\begin{thm}
    Jeżeli trójkąt $ABC$ jest prostokątny, to środek okręgu opisanego na $
    \triangle ABC$ leży w~połowie przeciwprostokątnej.
\end{thm}
 
\begin{minipage}{10cm}
\begin{thm}
    \label{przeciwlegle}
    Jeżeli czworokąt $ABCD$ jest wypukły i~taki, że suma przeciwległych kątów
    wynosi $180^\circ$, to na $ABCD$ można opisać okrąg (zachodzi również
    twierdzenie odwrotne).
\end{thm}
\end{minipage}\begin{minipage}[<+tb+>]{6cm}
    \includegraphics{incircle1-1}
\end{minipage}
 
\begin{minipage}{10cm}
\begin{thm}
    \label{wpisane}
    Jeżeli punkty $A, D$ leżą po tej samej stronie prostej $BC$ i~zachodzi
    \[
     \angle BAC =  \angle BDC
    \]
    to na $ABCD$ można opisać okrąg.
 
    Najczęściej to twierdzenie stosuje się, gdy $ \angle BAC =  \angle BDC =
    90^\circ$, wtedy środek otrzymanego okręgu leży w~połowie odcinka $BC$.
\end{thm}
\end{minipage}\begin{minipage}[<+tb+>]{6cm}
    \includegraphics{incircle1-2}
\end{minipage}
 
\begin{problem}
    Niech $AD$ i~$BE$ będą wysokościami w~trójkącie ostrokątnym $ABC$ a~$M$ będzie
    środkiem boku $AB$. Udowodnij, że punkty $A, B, D, E$ leżą na jednym
    okręgu (gdzie leży jego środek?). Oblicz, ile wynosi kąt $ \angle DMB$, w~zależności od $ \angle A,
     \angle B,  \angle C$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$, przy czym $ \angle ACB = 60^\circ$. Punkty $D$
    i~$E$ są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów $A$ i~$B$ na proste
    $BC$ i~$AC$. Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$. Wykaż, że $ \triangle
    DEM$ jest równoboczny.
 
    \emph{Zadanie pochodzi ze zbiorku dra Pompe}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    \emph{To zadanie ma pokazać, że wysokości w~trójkącie przecinają się
    w~jednym punkcie. Punkt przecięcia wysokości nazywamy \emph{ortocentrum}
    trójkąta.}
 
    Niech trójkąt $ABC$ będzie ostrokątny, niech $AD$ i~$BE$ będą jego
    wysokościami i~niech proste te przecinają się w~$H$. Niech $F$ oznacza
    rzut $H$ na $AB$.
    \begin{enumerate}
        \item Uzasadnij, że na czworokątach $ABDE$ i~$CEHD$ można opisać okręgi.
        \item Oblicz, że $ \angle CHE =  \angle CDE =  \angle CAB = 180^\circ
            -  \angle EHF$, stąd punkty $C, H, F$ leżą na jednej prostej.
        \item Dokończ rozwiązania zadania.
    \end{enumerate}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $H$ będzie ortocentrum trójkąta ostrokątnego $ABC$. Uzasadnij, że
    punkt symetryczny do $H$ względem boku trójkąta $ABC$ leży na okręgu
    opisanym na $ \triangle ABC$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Wskazać przykład, że warunek ``$ABCD$ jest wypukły'' w~twierdzeniu
    \ref{przeciwlegle} jest potrzebny oraz że warunek ``$A$, $D$ leżą po tej
    samej stronie prostej $BC$'' w~twierdzeniu \ref{wpisane} jest potrzebny
    (warunek jest \emph{potrzebny} jeżeli bez tego warunku teza twierdzenia
    nie jest prawdziwa).
\end{problem}
 
\end{document}