Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad1.tex
%     Created: wto kwi 27 07:00  2010 C
% Last Change: wto kwi 27 07:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newtheorem{problem}[thm]{Zadanie}
\newenvironment{proof}{\noindent\textsc{Dowód.}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}{\noindent\textsc{Rozwiązanie. }}
{\par}
 
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Eliminacje do PTM -- @gmail}
 
\begin{enumerate}
    \item Ambasadorów $2009$ państw posadzono przy okrągłym stole, na którym
        umieszczone są proporczyki państw. Niestety żaden ambasador nie siedzi
        przy proporczyku swojego państwa. Uzasadnij, że można tak obrócić
        stół, że co najmniej dwóch ambasadorów będzie siedziało przy właściwych
        proporczykach.
    \item Dla jakich liczb całkowitych $n$ liczba $1! + 2! + \dots + n!$ jest
        kwadratem liczby całkowitej?
    \item Na ile sposobów da się pokryć kwadrat $15 \times 15$ kwadratami
        $3\times 3$ i $5\times 5$?
    \item Dwa rozłączne okręgi $o_1,o_2$ są wpisane w kąt $BAC$, tak, że okrąg
        $o_1$ jest styczny do prostej $BA$ w $X$, zaś okrąg $o_2$ jest styczny
        do $AC$ w $Y$. Prosta $XY$ przecina $o_1$ jeszcze w $X'$, zaś $o_2$ w
        $Y'$. Uzasadnij, że $|XX'| = |YY'|$.
\end{enumerate}
\end{document}
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
%        File: zad1.tex
%     Created: wto kwi 27 07:00  2010 C
% Last Change: wto kwi 27 07:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newtheorem{problem}[thm]{Zadanie}
\newenvironment{proof}{\noindent\textsc{Dowód.}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}{\noindent\textsc{Rozwiązanie. }}
{\par}
 
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Eliminacje do PTM -- @gmail}
 
\begin{enumerate}
    \item Ambasadorów $2009$ państw posadzono przy okrągłym stole, na którym
        umieszczone są proporczyki państw. Niestety żaden ambasador nie siedzi
        przy proporczyku swojego państwa. Uzasadnij, że można tak obrócić
        stół, że co najmniej dwóch ambasadorów będzie siedziało przy właściwych
        proporczykach.
 
        \begin{proof}
            Mamy $2009$ różnych obrotów stołu -- obroty o $0,1,\dots,2008$.
            Dla obrotu o $i$ niech $Amb_i$ oznacza liczbę ambasadorów
            siedzących przy swoich proporczykach. W szczególności z zadania
            wynika $Amb_0 = 0$.
 
            Każdy ambasador musi przy którymś obrocie trafić na swój proporczyk, więc
            $$Amb_0 + Amb_1 + \dots + Amb_{2008} \geq 2009$$
            Uwzględniając $Amb_0 = 0$:
            $$Amb_1 + \dots + Amb_{2008} \geq 2009$$
            Mamy $2008$ liczb, których suma jest równa $2009$, zatem któraś z
            tych liczb musi być większa od $1$, co dowodzi (jeżeli przypomnimy
            sobie co znaczyło $Amb$) tezy.
        \end{proof}
    \item Dla jakich liczb całkowitych $n$ liczba $1! + 2! + \dots + n!$ jest
        kwadratem liczby całkowitej?
 
        \begin{sol}
 
            \textbf{Odpowiedź:} Dla $n=1$ i $n=3$.
 
            Przypadki $n=1,2,3,4$ przeliczamy ręcznie.
 
            Niech teraz $n\geq 5$.
 
            Liczby $5!,6!,\dots, n!$ są podzielne przez $10$, zatem
            $$1! + 2! + \dots + n! \equiv 1! + 2! + 3! + 4! \equiv 3 \mod 10$$
 
            Z drugiej strony możemy przeliczyć, że kwadraty nie dają reszty
            $3$ z dzielenia przez
            $10$:
 
            \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
                \hline
                $n$           & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
                \hline
                $n^2 \mod 10$ & 0 & 1 & 4 & 9 & 6 & 5 & 6 & 9 & 4 & 1\\
                \hline
            \end{tabular}
 
            A więc dla $n\geq 5$ liczba $1! + 2! + \dots + n!$ nie jest
            kwadratem liczby całkowitej.
        \end{sol}
    \item Na ile sposobów da się pokryć kwadrat $15 \times 15$ kwadratami
        $3\times 3$ i $5\times 5$?
 
        \begin{sol}
            Załóżmy, że mamy dane takie pokrycie $a$ kwadratami $3\times 3$ i
            $b$ kwadratami $5\times 5$. Patrząc na równość pól
            $$15^2 = 3^2 \cdot a + 5^2 \cdot b$$
            stwierdzam, że musi być $5^2 | a$, gdyż $5^2|15^2$ i $5^2|5^2b$.
            Oczywiście $3^2a \leq 15^2$, zatem $a \leq 5^2$, a więc łącznie
            $$a = 0 \hbox{ lub } a = 25$$
 
            Mamy dokładnie dwa pokrycia -- tylko kwadratami $3\times 3$
            i tylko kwadratami $5 \times 5$, odpowiadające wartościom $a=25$ i
            $a=0$.
        \end{sol}
    \item Dwa rozłączne okręgi $o_1,o_2$ są wpisane w kąt $BAC$, tak, że okrąg
        $o_1$ jest styczny do prostej $BA$ w $X$, zaś okrąg $o_2$ jest styczny
        do $AC$ w $Y$. Prosta $XY$ przecina $o_1$ jeszcze w $X'$, zaś $o_2$ w
        $Y'$. Uzasadnij, że $|XX'| = |YY'|$.
 
        \begin{proof}
            Bez straty ogólności niech $o_1$ leży bliżej $A$ niż $o_2$.
 
            Niech $T, Z$ będą punktami styczności: $o_1$ do $AC$ i $o_2$ do
            $AB$.
 
            Stosujemy dwa razy równość stycznych:
            $$|TY| = |AY| - |AT| = |AZ| - |AX| = |XZ|$$
 
            \begin{thm}[Twierdzenie o siecznych, wersja ze styczną]
                Niech dany będzie okrąg $o$ i punkt $P$ leżący poza okręgiem
                $o$. Prosta $PC$ jest styczna do $o$ w $C$, inna prosta
                przechodząca przez $P$ przecina $o$ w $A,B$. Wtedy
                $$|PA|\cdot |PB| = |PC|^2$$
            \end{thm}
 
            Stosujemy twierdzenie o siecznych dla punktu $X$ i okręgu $o_2$:
            $$|XY'|\cdot |XY| = |XZ|^2$$
            oraz dla punktu $Y$ i okręgu $o_1$:
            $$|YX'|\cdot |XY| = |YT|^2$$
            Skoro $|XZ| = |YT|$, to
            $$|XY'|\cdot |XY| = |YX'|\cdot |XY|$$
            $$|XY'| = |YX'|$$
            $$|YY'| = |XY| - |XY'| = |XY| - |YX'| = |XX'|$$
        \end{proof}
\end{enumerate}
\end{document}