Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Zadania przygowała Aleksandra Baranowska

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\include{style}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\begin{document}
\section{Okręgi i potęga punktu}
 
\paragraph{Teoria}
\begin{enumerate}
\item \emph{Kąt środkowy} w okręgu to kąt, którego wierzchołkiem jest środek danego okręgu.
\item \emph{Kąt wpisany} w okrąg to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona zawierają cięciwy. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
\item \begin{thm} Jeżeli kąt środkowy i wpisany oparte są na tym samym łuku, to kąt środkowy ma miarę dwukrotnie większą, niż kąt wpisany.\end{thm}
\item \begin{thm} Kąt pomiędzy cięciwą i styczną przechodzącą przez koniec tej cięciwy równy jest połowie kąta środkowego opartego na tej cięciwie.\end{thm}
\item \begin{defn}Niech będzie dany okrąg $o$ o środku w $O$ i promieniu $r$ oraz punkt $A$. Niech prosta $k$ przechodzi przez punkt $A$ i przecina okrąg $o$ w punktach $B$ i $C$. Wtedy potęgą punktu $A$ względem okręgu $o$ nazywamy iloczyn $|AB| \cdot |AC|$, jeżeli punkt $A$ leży na zewnątrz okręgu i $-|AB| \cdot |AC|$, jeżeli leży on wewnątrz. Iloczyn ten jest niezależny od wyboru prostej $k$. Potęga punktu $A$ jest też równa
$$|AO|^2 - r^2$$
\end{defn}
\end{enumerate}
\paragraph{Zadania}
\begin{enumerate}
\item Trapez $ABCD$, w którym $AB || CD$ oraz $\angle BCA = 90\deg$ wpisano w okrąg o promieniu $r$. Punkt $S$ jest środkiem podstawy $AB$. Udowodnić, że $|SD| = r$.
 
\item Trójkąt $ABC$ jest opisany na okręgu. Punkty $K ,L, M$ są punktami styczności okręgu do boków $AB, BC, CA$ odpowiednio. Wiedząc, że $\angle KML = 40\deg$ i $\angle MKL= 60\deg$, wyznacz kąty w trójkącie $ABC$.
 
\item Trapez $ABCD$, w którym $AB || CD$ oraz $\angle ABC = \alpha$, wpisano w okrąg o środku w $S$. Wiedząc, że $\angle BAS = \beta$, znajdź $\angle DSC$.
 
\item W trójkącie $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$, kąt przy podstawie ma miarę $75\deg$. Udowodnij, że podstawa trójkąta ma długość równą długości promienia okręgu opisanego na $ABC$.
 
\item Używając oznaczeń z punktu piątego teorii, udowodnij, dla punktu $A$ leżącego na zewnątrz $o$, że iloczyn $|AB| \cdot |AC|$ jest niezależny od wyboru prostej.
 
\item Wykaż, że jeżeli odcinki $AB$ i $CD$ przecinają się w $E$ i zachodzi $|AE| \cdot |BE| = |CE| \cdot |DE|$, to punkty $A, B, C, D$ leżą na jednym okręgu.
 
\item Punkty $E, F$ leżą na bokach $AC, AB$ trójkąta $ABC$ odpowiednio. Odcinki $BE$ i $CF$ przecinają się w $M$ i zachodzi $|MB| \cdot |ME| = |MC| \cdot |MF|$. Udowodnij, że zachodzi $|AE| \cdot |AC| = |AF| \cdot |AB|$.
 
\end{enumerate}
\end{document}