24 lutego 2025 - Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha - definicja i kilka przykładów.
Przestrzenie C(K), C(K,X), C_ogr(E) z normą supremum oraz ich szczególne przypadki,
w tym przestrzeń ciągów ograniczonych i przestrzeń ciągów zbieżnych.
Nierówności Minkowskiego i Hoeldera. Przestrzenie L_p i l_p dla 1<=p<\infty.
3 marca 2025 - Przestrzeń L_\infty i l_\infty, wersja nierówności Hoeldera dla p=1,q=\infty.
Miary ze znakiem i zespolone, definicja, moduł (wariacja) miary. Moduł miary zespolonej jest miarą,
a przestrzeń miar ze znakiem/zespolonych jest przestrzenią Banacha. Całka względem miary ze znakiem
i miary zespolonej.
10 marca 2025 - Operator liniowy między przestrzeniami unormowanymi jest ciągły wtedy i tylko wtedy,
gdy jest ograniczony. Przestrzeń operatorów liniowych między przestrzeniami unormowanymi. Przestrzeń
operatorów liniowych między przestrzenią unormowaną a Banacha jest przestrzenią Banacha.
Przestrzeń operatorów liniowych ciągłych na X. Przykłady.
Domknięta podprzestrzeń przestrzeni Banacha jest przestrzenią Banacha.
Iloraz przestrzeni unormowanej i jej domkniętej podprzestrzeni, iloraz przestrzeni Banacha jest przestrzenią Banacha.
Przypomnienie definicji przestrzeni unitarnej i euklidesowej, własności iloczynu
skalarnego i nierówności Schwarza. Przestrzeń Hilberta - definicja i przykłady.
17 marca 2025 - Tożsamość równoległoboku. W przestrzeni Hilberta w każdym zbiorze wypukłym domkniętym
istnieje dokładnie jeden punkt o najmniejszej normie. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym i o rzucie ortogonalnym na domkniętą podprzestrzeń przestrzeni Hilberta. Twierdzenie Riesza o postaci
ciągłego funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta. Absolutna ciągłość, gęstość i osobliwość
miar. Twierdzenie Lebesgue'a-Radona-Nikodyma o rozkładzie miary na część osobliwą i absolutnie ciągłą
mającą gęstość dla miar sigma-skończonych. Przykład, że założenie sigma-skończoności jest istotne.
24 marca 2025 - Twierdzenie Radona-Nikodyma w przypadku, gdy miara dominowana jest miarą zespoloną.
Układy ortogonalne i ortonormalne. Rzut na przestrzeń genrowaną przez układ n-wektorów
ortonormalnych. Nierówność Besssela. Liniowo gęstość rodziny wektorów. Bazy ortonormalne - trzy
równoważne warunki. Izometryczność przestrzeni Hilberta i \ell_2(I). Tożsamość Parsevala.
Ośrodkowa przestrzeń Hilberta ma przeliczalną bazę.
31 marca 2025 - Gęstość funkcji ciągłych o nośniku zwartym w L_p(G,\mu), gdzie G otwarty podzbiór
w R^d, a \mu miara borelowska, skończona na zbiorach zwartych. Układ trygonometryczny jako baza
L_2[-\pi,\pi] (po przeskalowaniu w L^[a,b]), wielowymiarowy układ trygonometryczny jako baza
L_2([-pi,pi]^n), zastosowanie - wzór na \sum n^{-2}. Układ Haara jako baza o.n. w L_2[0,1] i
L_2(\er). Układ Walsha jako baza L_2[0,1] (dowód odłożony na ćwiczenia). Układy wielomianów ortogonalnych. Lemat Banacha o przedłużaniu funkcjonału dominowanego przez funkcjonał Banacha.
7 kwietnia 2025 - Istnienie średniej Banacha na N. Twierdzenie Hahna-Banacha o przedłużaniu
funkcjonałów ciągłych z zachowaniem normy i przykład zastosowania - istnieje funkcjonał
o normie 1 wybijający normę niezerowego wektora. Twierdzenie Mazura o oddzielaniu rozłącznych
zbiorów wypukłych, z których jeden jest otwarty. Dla miary sigma skończonej i
p z [1, \infty) przestrzeń dualna do L^p to L^{p^*}, pierwsza część dowodu (przypadek miary skończonej).
14 kwietnia 2025 - Dokończenie dowodu (L^p)^*=L^{p^*}. Szczególny przypadek l_p^*=l_{p^*}.
Uwaga, że (L^\infty)^* zawiera L^1 ale jest (poza przypadkiem skończonego wymiaru) typowo większa -
np średnia Banacha jest przykładem funkcjonału na l_\infty, który nie jest zadany przez ciąg z l_1.
l_1 jako przestrzeń dualna do c_0. Miary regularne - definicja, przykłady. Miara regularna wyznacza
funkcjonał liniowy ciągły na C(K) o normie równej wariacji miary. Przestrzeń M(K) - regularnych miar zepolonych ze znakiem. Twierdzenie Riesza o reprezentacji: C(K)^*=M(K) (bez dowodu). Refleksywność
przestrzeni Banacha - definicja i przykłady.
28 kwietnia 2025 - przypomnienie twierdzenia Baire'a (bez dowodu), zbiory I kategorii. Twierdzenie Banacha-Steinhausa i wniosek punktowa granica ciągłych operatorów liniowych na przestrzeni Banacha
jest operatorem ciągłym. Przykład zastosowania - dla ustalonego punktu t (a nawet przeliczalnego
zbioru punktów) istnieje funkcja ciągła 2pi-okresowa, której szereg Fouriera nie jest zbieżny w tym
punkcie (tym zbiorze punktów). Słaba topologia - definicja, baza, własność T_2. Słaba topologia pokrywa się z normową wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar przestrzeni jest skończony. Słaba zbieżność.
Ciąg słabo zbieżny jest ograniczony. Charakteryzacje słabej zbieżności w przestrzeni Hilberta i C(K).
5 maja 2025 - Słaba * topologia i słaba * zbieżność w przestrzeni X^* - definicja, podstawowe
własnośći, związki ze zbieżnością słabą i normową. Twierdzenie Banacha-Alaoglu o słabej* zwartości
kuli jednostkowej w X^*. Wniosek - każda przestrzeń Banacha się wkłada izometrycznie w C(K) dla
pewnego zbioru zwartego K, ponadto dla przestrzeni ośrodkowych za K można wybrać przestrzeń zwartą
metryczną. Twierdzenie Banacha o przekształceniu otwartym i wnioski (ciągła bijekcja
między przestrzeniami Banacha jest izomorfizmem). Twierdzenie Banacha o wykresie domkniętym.
Istotność założeń o liniowości przekształcenia i zupełności przestrzeni.
12 maja 2025 - operatory zwarte - definicja, operotory zwarte są ciągłe. Operator jest zwarty wtedy
i tylko wtedy, gdy z obrazu każdego ciągu ograniczonego da się wybrać podciąg zbieżny. Identyczność
jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar przestrzeni jest skończony. Ciągłe operatory skończonego
rzędu są zwarte. Granica (w normie operatorowej) operatorów zwartych jest zwarta, złożenie operatora
zwartego z ciągłym jest zwarte. Operatory Hilberta-Schmidta są zwarte.
Każdy operator zwarty w ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest granicą operatorów skończonego rzędu.
Operator sprzężony - definicja, przykłady. Sprzężenie zachowuje normę operatora.
26 maja 2025 - sprzężenie izomorfizmu jest izomorfizmem, operator T** obcięty do X pokrywa się z T,
operator T jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy T^* jest zwarty, operator T jest na (jest
izometrycznym włożeniem) wtedy i tylko wtedy, gdy T^* jest izometrycznym włożeniem (jest na).
Grupa automorfizmów jako otwarty podzbiór przestrzeni operatorów na przestrzeni Banacha,
widmo (spektrum) operatora - definicja i przykłady.
2 czerwca 2025 - Rezolwenta operatora i jej podstawowe własności. Widmo operatorów na zespolonej przestrzeni Banacha jest niepuste. Twierdzenie Riesza-Szaudera o widmie operatorów zwartych.
Sprzężenie Hilbertowskie. Operatory samosprzężone, unitarne, normalne i nieujemne.
9 czerwca 2025 - Właśności operatorów samosprzężonych na przestrzeni Hilberta.
Operator liniowy na przestrzeni Hilberta jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometrią na. Rozkład spektralny operatorów zwartych samosprzężonych i operatorów zwartych. Wniosek - rachunek funkcyjny na operatorach zwartych samosprzężonych.