Algebra II, program rozszerzony, semestr wiosenny 2011
Wyklad i cwiczenia
Jaroslaw Wisniewski i Marysia Donten-Bury
Strona cwiczen, m.in. zadania
Oficjalna strona przedmiotu
Tematy wykladow i zakres egzaminu:
- Idealy w pierscieniach wielomianow, porzadki na jednomianach,
dzielenie z reszta, idealy jednomianowe, lemat Dicksona, bazy
Groebnera [Cox-Little-O'Shea, rozdz 2]
- Pierscienie i moduly noetherowskie, rozne charakteryzacje,
dziedzicznosc, twierdzenie Hilberta o bazie [Reid rozdz 3,
Atiyah-Macdonald rozdz 6].
- Spektrum pierscienia, lokalizacja modulu, nosnik
modulu. Anihilator elementu, idealy pierwsze stowarzyszone z modulem i
ich wlasnosci. Opis skonczonego modulu nad pierscieniem noetherowskim
A poprzez ciag podmodulow o faktorach cyklicznych A/p [Reid
rozdz 6-7, Atiyah-Macdonald rozdz. 4].
- Idealy prymarne, charakteryzacja. Rozklad prymarny idealow w
pierscieniach noetherowskich, jednoznacznosc [Reid rozdz. 7,
Atiyah-Macdonald rozdz. 7].
- Wielomiany symetryczne. Liniowe dzialanie grup skonczonych,
pierscienie niezmiennikow. Operatory Reynoldsa. Twierdzenie Hilberta i
Noether o skonczonej generowalnosci pierscienia niezmiennikow
[Cox-Little-O'Shea rozdz. 7].
- Rozszerzenia algebraiczne cial i calkowite algebr, rozszerzenia
skonczone, elementy calkowite, charakteryzacja. Calkowite domkniecie.
Twierdzenia o skladaniu rozszerzen. Twierdzenie Noether o normalizacji
[Reid rozdz 4, Atiyha-Macdonald rozdz 5].
- Twierdzenie Hilberta o zerach, forma slaba i mocna nad cialem
algebraicznie domknietym k. Zbiory algebraiczne w przestrzeni
afinicznej, zbiory nieredukowalne i odpowiednosc z idealami
radykalnymi i pierwszymi w pierscieniu wielomianow. Rozmaitosci
afiniczne i skonczenie generowalne k-algebry bez dzielnikow zera [Reid
rozdz. 5].
- Algebraiczne domkniecie ciala, wkladanie rozszerzen
algebraicznych w algebraiczne domkniecie. Cialo rozkladu
wielomianu. Rozszerzenia normalne, charakteryzacja przez obraz w
algebraicznym domknieciu. Ciala rozkladu wielomianu = skonczone
rozszerzenia normalne.
- Wielomiany rozdzielcze, elementy rozdzielcze, rozszerzenia
rozdzielcze. Charakteryzacja rozdzielczosci wielomianow przez ich
rozniczkowanie. Ciala doskonale. Liczenie odwzorowan rozszerzenia
skonczonego ciala w jego algebraiczne domkniecie, stopien rozdzielczy
rozszerzenia, twierdzenie o skladaniu stopni rozdzielczych rozszerzen,
charakteryzacja skonczonych rozszerzen rozdzielczych przez ich stopien
rozdzielczy. Tw Abela: skonczone rozszerzenie rozdzielcze jest
generowane przez jeden element.
- Automorfizmy rozszerzen. Skonczone rozszerzenia Galois i ich
charakteryzacje: normalne i rozdzielcze, rzad grupy automorfizmow
rowny rzedowi rozszerzenia. Zasadnicze twierdzenie teorii
Galois. Zastosowanie: domknietosc ciala liczb zespolonych.
- Liniowa niezaleznosc automorfizmow rozszerzenia. Rozszerzenia
czysto nierozdzielcze. Zastosowania: tw. o skonczonosci calkowitego
domkniecia dziedziny noetherowskiej w skonczonym rozszerzeniu jej
ciala ulamkow; tw. o skonczonej generowalnosci calkowitego domkniecia
k-algebry.
- Rozwiazywanie rownan algebraicznych, rozszerzenia rozwiazalne
cial. KOnstrukcje geometryczne.
- Pierscienie waluacji dyskretnych.
Wydzialowy serwer Sage
Ksiazki i skrypty
-
Aluffi, Algebra, Chapter 0 wersja wstepna ewaluacyjna, nie do
rozpowszechniania.
-
Bojanowska, Traczyk, Algebra, skrypt
- Cox, Little, O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms. An
introduction to computational algebraic geometry and commutative
algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer
- Atiyah, Macdonald, Introduction to commutative algebra.
- Reid, Undergraduate Commutative Algebra, LMS Students texts 29
- Eisenbud, Commutative algebra with a view, Springer GTM150
- Bialynicki-Birula, Algebra, PWN
- Bialynicki-Birula, Zarys algebry, PWN
- Brynski, Jurkiewicz, Zbior zadan z algebry
- Lang, Algebra, PWN
Warunki zaliczenia cwiczen, egzamin:
- konieczne jest robienie zadan na kazde cwiczenia, zgloszenia
zrobionych zadan beda przyjmowane na poczatku cwiczen i potem zadania
beda rozwiazywane przy tablicy; punktacja za zadania zgloszone od 1 do
3 pkt, za zgloszone ale zrobione zle od -3 do 0 pkt, za niezgloszone
0; za znalezione bledy w tresci zadan i ich poprawienie beda dodatkowe punkty,
- dwa kolokwia po 90 min, terminy zostana ustalone pozniej
- egzamin: ocena bedzie uwzgledniala wyniki z cwiczen
Strona przedmiotu z poprzedniego roku akademickiego
Programy i pakiety: