Algebra II *

Algebra II, program rozszerzony, semestr wiosenny 2010

Tematy z wykladu, zakres egzaminu:

Rozszerzenia algebraiczne cial, rozszerzenia calkowite pierscieni. Rozszerzenia skonczone. Skladanie rozszerzen. Calkowite domkniecie. Normalizacja.
Twierdzenie Noether o normalizacji. Nullstellensatz i wnioski.
Zbiory algebraiczne i zbiory nieprzywiedlne, rozklad idealu radykalnego na pierwsze. Funkcje regularne.
Cialo rozkladu wielomianu. Ciala algebraicznie domkniete, konstrukcja algebraicznego domkniecia.
Wkladanie rozszerzenia ciala w algebraiczne domkniecie ciala, rozszerzenia normalne, rozszerzenia rozdzielcze, twierdzenie Abela.
Grupy automorfizmow rozszerzen, skonczone rozszerzenia Galois i ich charakteryzacja jako normalnych i rozdzielczych.
Zasadnicze twierdzenie teorii Galois i zastosowania. Rozwiazywanie rownan algebraicznych przez pierwiastniki.
Skonczone moduly nad pierscieniem noetherowskim: anihilatory, nosnik, idealy dolaczone, ciag podmodulow o faktorach cyklicznych.
Rozklad prymarny idealow w pierscieniach noetherowskich.
Pierscienie waluacji dyskretnej, charakteryzacja: lokalne, normalne, wymiaru 1.
Pierscienie i moduly z gradacja. Funkcja Hilberta. Filtracje modulow, I-filtracje. Rozdmuchanie i pierscien z gradacja zwiazany z idealem.
Lemat Artina-Reesa. Twierdzenie Krulla. Uzupelnienie pierscieni i modulow.
Wymiar Krulla. Szeregi Poincare. Zwiazek wymiaru pierscienia lokalnego noetherowskiego z szeregiem Poincare jego pierscienia z gradacja.

Plan cwiczen: (zadania na poniedzialkowe cwiczenia powinny byc wywieszane nie pozniej niz do srody wieczorem, do 20:00)

15 lutego: moduly, ciagi dokladne, produkty, tw Cayleya-Hamiltona etc: zadania, seria 1
22 lutego: moduly cd. produkty tensorowe, plaskosc, etc: zadania, seria 2
1 marca: rozszerzenia calkowite i skonczone pierscieni, zadania, seria 3
8 marca: twierdzenie Hilberta o zerach i zastosowania. zadania, seria 4
15 marca: algebraiczne domkniecie, stopien rozszerzenia, cialo rozkladu wielomianu zadania, seria 5
22 marca: ciala skonczone, pierwwiastki z jednosci, endomorfizm Frobeniusa, slad i norma rozszerzenia, zadania, seria 6.
29 marca: zasadnicze twierdzenie teorii Galois zadania, seria 7.
12 kwietnia: zastosowania teorii Galois, rozwiazywanie rownan zadania, seria 8.
19 kwietnia: struktura modulow nad pierscieniami noetherowskimi zadania, seria 9.
26 kwietnia: rozklad prymarny idealow w pierscieniach noetherowskich zadania, seria 10
10 maja: rozklady prymarne, wielomiany tropikalne, pierscienie waluacji zadania, seria 11
17 maja: kolokwium, prosze powtorzyc zadania robione na cwiczeniach.
24 maja: pierscienie z gradacja, rozdmuchania, p-nie rzutowe i rzutowy Nullstallensatz zadania, seria 12
31 maja: powtorzenie, zadania z kolokwium (teoria Galois!) i dokonczenie zadan z poprzedniej(nich) serii.

Wydzialowy serwer Sage: program do obliczen symbolicznych m.in. z teorii grup i pierscieni.

Ksiazki i skrypty

Aluffi, Algebra, Chapter 0 wersja wstepna ewaluacyjna, nie do rozpowszechniania.
Bojanowska, Traczyk, Algebra, skrypt
Bialynicki-Birula, Algebra, PWN
Bialynicki-Birula, Zarys algebry, PWN
Brynski, Jurkiewicz, Zbior zadan z algebry
Atiyah, Macdonald, Introduction to commutative algebra.
Reid, Undergraduate Commutative Algebra, LMS Students texts 29
Eisenbud, Commutative algebra with a view, Springer GTM150
Lang, Algebra, PWN

Warunki zaliczenia cwiczen, egzamin:

konieczne jest robienie zadan na kazde cwiczenia, zgloszenia zrobionych zadan beda przyjmowane na poczatku cwiczen i potem zadania beda rozwiazywane przy tablicy; punktacja za zadania zgloszone od 1 do 3 pkt, za zgloszone ale zrobione zle od -3 do 0 pkt, za niezgloszone 0; za znalezione bledy w tresci zadan i ich poprawienie beda dodatkowe punkty,
dwa kolokwia po 90 min, terminy zostana ustalone pozniej
egzamin: ocena bedzie uwzgledniala wyniki z cwiczen

Programy i pakiety: