<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">% Zawsze na poczatku trzeba napisac deklaracje dokumentu, 
% ktora mowi jakie wlasciwosci bedzie mial dany dokument

% Ta konkretna mowi, ze:
% (12pt) - czcionka ma 12/10 normalnej wielkosci, 
% (a4paper) - wielkosc strony to a4
% (dvips) - jakies wsparcie dla konwersji z dvi do ps, nie wiem dokladnie
% (article) - to jest klasa dokumentu - krotkie rzeczy zwykle article
\documentclass[12pt,a4paper,dvips]{article}

% Teraz mowimy jakie dodatkowe pakiety zalaczamy
\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm} % pakiety do znaczkow matematycznych
\usepackage[cp1250]{inputenc} % kodowanie
%\usepackage[latin2]{inputenc} % jesli uzywasz kodowania iso-8859-2, to trzeba ustawic to zamiast poprzedniej linii
\usepackage[polish]{babel} % do polskich liter
\usepackage{polski} % tez do polskich liter
\usepackage{graphicx} % do wstawiania obrazkow
\usepackage{bbm} % do ladnych czcionek (np. pogrubione)

% Mozna tez definiowac nowe komendy poleceniem newcommand{\nowakomenda}{co robi}
% Tu zdefiniowane znaczki zbiorow
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}

% Poczatek wlasciwego dokumentu - to co napiszesz potem bedzie widziane w dvi-u
% oczywiscie oprocz tego co napiszesz w komentarzu, czyli jak widzisz po procencie

% Wlasciwy poczatek dokumentu.
% To co napiszemy to \begin{document} bedzie widziane w pliku
\begin{document}

% Poczatek obszaru wycentrowanego
\begin{center}

% Tekst wyboldowany
\textbf{To jest wyboldowane}

% Tekst italic
\textit{To jest kursywa}

% Koniec obszaru wycentrowanego
\end{center}

% Polskie literki piszemy normalnie (jesli cos nie dziala, to zmienic kodowanie)
ą ć ź ń ó

% Latexowi trzeba wszystko pisac, sam olewa przejscie do nowej linii, jak html
Pierwsza linia
Druga linia
Trzecia linia
\newline
Czwarta linia

% Odstep w pionie o 3 mm
\vskip 0.3cm

Jakis tam tekst
Zeby napisac tekst matematyczny trzeba go zaczac i skonczyc dolarem.
% Polecenia zawsze pisze sie w stylu \polecenie{argument_polecenia}

\vskip 1cm

A zatem przyklady
$4&gt;3$

$10 \leq 15$ % less or equal

$20 \geq 8$ % greater or equal

$15 = 3 \cdot 5$ \newline
Mamy ci"ag $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ \\ % dwa backslashe to tez nowa linia
$5^2 = 25$
$2.5 = \frac{5}{2}$ \\
A teraz napisze przykladowe rozwiazanie zadania.

\vskip 1cm

\textbf{1.}
Udowodnij, że $\sum_{i=1}^n \binom{n}{i} 2^i=3^n$.
% Komentarz:
% X^Y wypisuje sie jako X z gornym indeksem Y (mozna traktowac jako potege)
% X_Y wypisuje sie jako X z dolnym indeksem Y
% polecenie \binom oznaczajace dwumian Newtona ma 2 argumenty
% ktore piszemy pierwszy w pierwszym nawiasie wasowym, drugi w drugim
% ogolnie mozna stosowac \sum, ale ladniej wyglada \sum\limits, wiec
% od tej pory bede tak pisac

\vskip 0.3cm

\textbf{Rozwiązanie} \\
Przypomnijmy wzór $(a+b)^n=\sum\limits_{i=1}^n \binom{n}{i} a^i
b^{n-i}$. \\
Podstawiając $a=2$, $b=1$ otrzymujemy tezę zadania.

\vskip 0.5cm

\noindent
% komenda \noindent znaczy, ze nie robimy wciecia
Przydatne wzory: \\
$\frac{5}{7}$ \\
% komenda \frac{a}{b} to ułamek
$X\subset Y$ \\
% zawieranie zbiorów
$\emptyset$ \\
% zbiór pusty
\end{document}
</pre></body></html>