<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\magnification=\magstep 1
\input CM-PLCHR.PPT
\baselineskip=15pt
\def\endbox
{\thinspace\vbox{\hrule height .5pt \hbox{\vrule width.5pt
depth2pt\vbox to 10pt{\hbox to 10pt{}} \vrule width .5pt depth2pt}
\hrule height 0pt depth .5pt}}
\newcount\q \q=0
\font\sf=cmss10
\def\medskip\nref{\global\advance\q by1 \item{\the\q.}}
\def\Ct{{\kern1.5pt\hbox{\sf C\kern-5pt I\kern5pt}\kern-2.5pt}}
\def\Qt{{\kern 1.5pt\hbox{\sf Q\kern-6pt I\kern6pt}\kern -2pt}}
\def\Zt{{\hbox{\kern1.5pt\sf Z\kern-8.5pt Z\kern2.5pt}}}
\def\Nt{{\hbox{\sf N\kern-8.5pt I\kern8.5pt}}}
\def\Rt{{\kern1.5pt\hbox{\sf R\kern-5pt I\kern5pt}}}

\item{1.} Niech $GL(n,\Rt)$ oznacza zbi"or odwracalnych macierzy $n\times n$ o wsp"o"l\-czyn\-ni\-kach rzeczywistych z topologi"a podprzestrzeni
 $\Rt^{n^2}$.
\item{a)} Udowodni"c, "re $GL(n,\Rt)\subseteq \Rt^{n^2}$ jest podzbiorem otwartym.
\item{b)} Znale"z"c domkni"ecie $GL(n,\Rt)$ w $\Rt^{n^2}$.
\item{c)} Udowodni"c, "re $GL(n,\Rt)$ ma dwie homeomorficzne sk"ladowe sp"ojne, kt"ore s"a jednocze"snie sk"ladowymi "lukowej sp"ojno"sci.
\item{2.}
Na p"laszczy"znie $\Rt^2$ z metryk"a euklidesow"a dana jest prosta
$L=\{(0,x)\colon x\in \Rt\}$. Niech $\Rt^2/L$ oznacza przestrze"n
ilorazow"a powsta"l"a przez zgniecenie $L$ do punktu (dokĹadniej, dzielimy $\Rt^2$
przez relacj"e r"ownowa"rno\-"sci $\sim$, tak"a "re klasami r"ownowa"rno\-"sci s"a
singletony punkt"ow nie le"r"acych na prostej $L$ oraz prosta $L$).
\item{(a)} Udowodni"c, "re $\Rt^2/L$ nie spe"lnia I aksjomatu przeliczalno"sci.
\item{(b)} Sprawdzi"c, czy odwzorowanie ilorazowe $\Rt^2\longrightarrow \Rt^2/L$
jest domkni"ete (otwarte).
\item{(c)} Sprawdzi"c, czy $\Rt^2/L$ ma w"lasno"s"c Hausdorffa.
\item{3.} Udowodni"c, "re cz"e"s"c wsp"olna przeliczalnej rodziny otwartych
g"estych podzbior"ow prostej z topologi"a strza"lki jest zbiorem
g"estym.
\item{4.} Zbada"c, czy prosta z topologi"a strza"lki i prosta z topologi"a euklidesow"a
maj"a takie same zbiory g"este.
\item{5.} Niech $X\subset \Rt$ z topologi"a euklidesow"a, $X=\{0\}\cup
\{{1\over n}\colon n\in \Nt\}$. Opisa"c g"este podzbiory $X\times
X$.
\item{6.} Niech $X$ b"edzie zbiorem nieprzeliczalnym, $x_0\in X$ wyr"o"rnionym
punktem. Niech $${\cal T}=\{U\subset X\colon  x_0\notin U
\quad\hbox{lub}\quad X\setminus U \hbox{jest zbiorem
sko"nczonym}\}.$$ Zbada"c, czy przestrze"n $X$:
\item{a)} zawiera nieprzeliczaln"a podprzestrze"n dyskretn"a
\item{b)} jest o"srodkowa
\item{c)} spe"lnia pierwszy aksjomat przeliczalno"sci
\item{d)} ma przeliczaln"a baz"e
\item{e)} jest metryzowalna.
\item{7.} Pokaza"c, "re w przestrzeni metrycznej ka"rdy zbi"or domkni"ety jest
cz"e"sci"a wsp"oln"a przeliczalnej rodziny zbior"ow
otwartych.\hfil\break Poda"c przyk"lad przestrzeni topologicznej i
takiego jej podzbioru domkni"etego, dla kt"orego ten warunek nie
jest spe"lniony.
\item{8.} Niech $X=\prod_{i\in \Nt}R_i$ gdzie $R_i=\Rt$ z
topologi"a euklidesow"a. \hfil\break Niech
\hbox{$A=\{(x_i)_{i\in\Nt}\colon (x_i)_{i\in\Nt} \hbox{jest
zbie"rny}\}$.}
\item{a)} Znale"z"c $cl\,A$ oraz $int\,A$ w $X$
\item{b)} Zbada"c, czy funkcja $f\colon A\longrightarrow \Rt$,
$f((x_i)_{i\in\Nt})=lim (x_i)$ jest ci"ag"la.
\item{9.} Podzbi"or $A\subset X$ nazywa si"e retraktem $X$ je"reli istnieje
funkcja ci"ag"la $r\colon X\longrightarrow A$, taka "re
$r_{|A}=id_A$. Taka funkcja nazywa si"e retrakcj"a na zbi"or
$A$.\hfil\break 1) Pokaza"c, "re podzbi"or niepusty $A\subset X$
jest retraktem $X$ wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej
przestrzeni $Y$ i dowolnego ci"ag"lego przekszta"lcenia $f\colon
A\longrightarrow Y$ istnieje ci"ag"le przekszta"lcenie $\tilde
f\colon X\longrightarrow Y$, takie "re $\tilde
f_{|A}=f$.\hfil\break 2) Udowodni"c, "re je"reli $X$ jest
przestrzeni"a Hausdorffa to ka"rdy retrakt jest podzbio\-rem
domkni"etym.\hfil\break 3) Pokaza"c, "re w $\Rt^n$ dowolna kula
domkni"eta $D^n(x,\epsilon)=\{y\in\Rt^n\colon d(x,y)\leq
\epsilon\}$ jest retraktem $\Rt^n$. \hfil\break 4) Pokaza"c, "re w
$\Rt^n$ sfera $S^{n-1}(x,\epsilon)$ jest retraktem kuli
$D^n(x,\epsilon)-\{y\}$, gdzie $y$ jest dowolnym punktem kuli
domkni"etej.




\bye
</pre></body></html>