<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\input CM-PLCHR.PPT

\magnification 1200  \baselineskip=13pt \noindent
\newcount\q \q=0
\def\nref{\global\advance\q by1 \item{\the\q.}}
\font\sf=cmss10
\def\nref{\global\advance\q by1 \item{\the\q.}}
\def\Ct{{\kern1.5pt\hbox{\sf C\kern-5pt I\kern5pt}\kern-2.5pt}}
\def\Qt{{\kern 1.5pt\hbox{\sf Q\kern-6pt I\kern6pt}\kern -2pt}}
\def\Zt{{\hbox{\kern1.5pt\sf Z\kern-8.5pt Z\kern2.5pt}}}
\def\Nt{{\hbox{\sf N\kern-8.5pt I\kern8.5pt}}}
\def\Rt{{\kern1.5pt\hbox{\sf R\kern-5pt I\kern5pt}}}


\noindent {\bf Zadanie. Udowodni"c, "re sko"nczona przestrze"n Hausdorffa $X$ jest dyskretna.}
\hfill\break

\noindent Przestrze"n Hausdorffa to taka przestrze"n topologiczna, "re dla ka"rdych
dw"och r"o"rnych punkt"ow $x,y$ istniej"a zbiory otwarte $x\in U_x, y\in U_y$, takie "re
$U_x\cap U_y = \emptyset.$\hfill\break
Topologia dyskretna, to taka, "re ka"rdy podzbi"or jest otwarty. Aby tak by"lo potrzeba
i wystarcza, "reby singletony (czyli zbiory jednopunktowe) by"ly otwarte.

\bigskip
\noindent {\bf Dow"od.} B"edzie wygodnie przedstawi"c ten dow"od w formie rozumowania nie wprost. Zaprzeczeniem 
dowodzonej tezy jest stwierdzenie, "re istnieje taki punkt $x\in X$, "re 
$\{x\}$ nie jest zbiorem otwartym (uwaga: stwierdzenie, "re "raden singleton nie jest otwarty to by"loby du"ro wi"ecej ni"r zaprzeczenie naszej tezy).\hfill\break
{\bf Przypu"s"cmy wi"ec, "re $x \in X$ i
"re $\{x\}$ nie jest zbiorem otwartym.}
\hfill\break
Niech $U$ b"edzie najmniejszym (maj"acym najmniej element"ow)
zbiorem otwartym zawieraj"acym
punkt $x$ (takie co"s, to znaczy zbi"or otwarty zawieraj"acy punkt $x$ na pewno istnieje, bo np. ca"ly $X$ jest zbiorem otwartym i $x\in X$). Zgodnie z za"lo"reniem, zbi"or $U$ ma co najmniej dwa elementy. Niech $$y\in U, x \neq y.\leqno (1)$$
W takim razie punkty $x$ i $y$ daj"a si"e oddzieli"c w rozpatrywanej przestrzeni $X$ zbiorami otwartymi.
Zatem istniej"a zbiory otwarte $x\in U_x, y\in U_y$, takie "re
$U_x\cap U_y = \emptyset.$ Skoro tak, to $U_x\cap U$ jest zbiorem otwartym zawieraj"acym punkt $x$,
w"la"sciwie zawartym w zbiorze $U$. Pierwsze stwierdzenie w poprzednim zdaniu, "re 
$U_x\cap U$ jest zbiorem otwartym wynika z og"olnej prawdy, "re przeci"ecie sko"nczonej rodziny zbior"ow otwartych jest zbiorem otwartym. Drugie, "re jest to podzbi"or w"la"sciwie zawarty w $U$ wynika z tego, "re 
$y\in U$, ale $y \notin U\cap U_x$, bo $y \notin U_x$. Otrzymali"smy zatem, wbrew za"lo"reniu, "re istnieje mniejszy podzbi"or otwarty zawieraj"acy punkt $x$, co ko"nczy dow"od.

\bye

</pre></body></html>