\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{article}
% Można też użyć klasy amsart. Proszę poeksperymentować.
% leqno powoduje, że numery równań będą po lewej stronie strony.
% \documentclass[a4paper,11pt,draft]{amsart}
% \documentclass[a4paper,12pt,leqno]{amsart}

% Poszerza marginesy (proszę nie robić tego ręcznie przy użyciu pakietu geometry).
\usepackage{a4wide}

% Trochę standardowych dodatków od amerykańskich matematyków.
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

% Różne polskie ustawienia.
\usepackage[MeX]{polski}

% Plik proszę zapisać używając kodowania UTF8.
% Można wtedy wpisywać wszystkie polskie znaki.
\usepackage[utf8]{inputenc}

% Pozwala kontrolować formatowanie list.
\usepackage{enumitem}

% Tutaj można dostosować wygląd list.
% (odsyłam do dokumentacji pakietu enumitem: https://www.ctan.org/pkg/enumitem)
% \setlist{nolistsep}
% \setlist{leftmargin=5pt,topsep=0pt,partopsep=0pt,parsep=0pt,itemsep=2pt}

\usepackage[T1]{fontenc}
% \usepackage[polish,english]{babel}
% \usepackage[T2A,T1]{fontenc}

% Można użyć poniższego fontu by uzyskać pogrubianą jedynką na oznaczenie
% funkcji charakterystycznej: \mathds{1}
% \usepackage{dsfont}

% Poprawia wygląd wierszy.
\frenchspacing

% Powoduje, że nowy akapit nie będzie wcięty.
\setlength{\parindent}{0pt}

% Jeśli potrzebne są kolory
%\usepackage{color}

% Dostarcza makro \fint generujące przekreślony znak całki (wartość średnia)
% \usepackage{esint}

% Font kaligraficzny \mathscr{}
\usepackage{mathrsfs}

% Pozwala na umieszczanie odnośników w pliku PDF
% \usepackage{hyperref}

% Kilka operatorów
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\opim}{im}
\DeclareMathOperator{\interior}{int}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\trace}{trace}

% Makra dla oznaczanie zbiorów liczbowych
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}

% Makra dla oznaczania różnych pochodnych
\newcommand{\uD}{\ensuremath{\mathrm{d}}} % pełna pochodna
\newcommand{\pD}[1]{\ensuremath{\mathrm{D}}_{#1}} % pochodna cząstkowa
\newcommand{\mD}[1]{\ensuremath{\mathrm{D}}^{#1}} % pochodną cząstkowo - notacja wielowskaźnikowa
\newcommand{\ud}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}       % znak "d" w całce; dodajemy odrobinę światła po lewej

% Funkcja klasy C^k
\newcommand{\cnt}[1]{C^{#1}}

% Miara Lebesguega
\newcommand{\Leb}[1]{\ell_{{#1}}}
% Wybór notacji zależy od wykładowcy i czasem zmienia się z roku na rok.
% Łatwo wtedy dostosować materiały zmieniając tylko kilka makr.
% \newcommand{\Leb}[1]{\mathscr{L}^{{#1}}}
% \newcommand{\Leb}[1]{\lambda_{{#1}}}

% Funkcja charakterystyczna - wymaga użycia pakietu dsfont
% \newcommand{\CF}{\mathds{1}}

% Poniższa linijka spowoduje, że numer twierdzenia
% wyświetlany będzie po lewej stronie słowa "Twierdzenie".
% \swapnumbers

% Środowiska do formatowania twierdzeń, lematów itp.
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem*{thm*}{Twierdzenie}
\newtheorem{prob}{Problem}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{prop}[thm]{Stwierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{conj}{Hipoteza}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{rem}[thm]{Uwaga}
\newtheorem*{rem*}{Uwaga}
\newtheorem{ex}[thm]{Przykład}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicja}{Definicja}
\newtheorem*{definicja*}{Definicja}
\newtheorem{noname}[thm]{}

% Data - można wpisać własną albo zostawić \today.
\date{\today}

% Tytuł
\title{Rozwiązanie zadania \ldots}

% Proszę wpisać własne imię i nazwisko
\author{Stefcio Banachowski}

\begin{document}

% Automatycznie generuje tytuł dodając imię i nazwisko autora oraz datę.
\maketitle

\textbf{Zadanie.} Znajdź środek ciężkości figury płaskiej opisanej układem nierówności
\begin{displaymath}
    y > 9x^2 - 9 \,, \quad y < 4x^2 - 4 \,.   % <-- Proszę pamiętać, że każde zdanie kończy się kropką.
\end{displaymath}
Następnie oblicz objętość bryły powstałej przez obrót tej figury wokół prostej o
równaniu $y=1$.

% Jest też do wyboru \medskip oraz \smallskip.
% Można też użyć makra, np. \vspace{1cm}
\bigskip

\emph{Rozwiązanie.}  Niech $A = \{ (x,y) \in \R^2 : 9(x^2-1) < y < 4(x^2-1) \}$.
Zauważmy, że
\begin{displaymath}
    9(x^2-1) = 4(x^2-1) \quad \iff \quad x \in \{-1,1\} \,.
\end{displaymath}
Wykorzystując twierdzenie Fubiniego oraz symetrię zbioru $A$ względem prostej $P
= \{ (0,y) : y \in \mathbf{R} \}$ dostajemy
\begin{displaymath}
    \Leb{2}(A) = 2 \int_0^1 \int_{9(x^2-1)}^{4(x^2-1)} 1 \ud y \ud x
    = -10 \int_0^1 x^2 - \ud x
    = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \,.
\end{displaymath}
Przywołując jeszcze raz symetrię $A$ widzimy, że środek ciężkości $a =
(a_1,a_2)$ tego zbioru leży na prostej $P$. Wystarczy zatem obliczyć drugą
współrzędną.
% Poniżej przydatne środowisko multline. Można też użyć align, a jeśli
% kolejne wyświetlone wiersze nie tworzą jednego równania, to korzystamy
% ze środowiska gather.
\begin{multline}                
    a_2 = \frac{3}{20} \cdot 2 \int_0^1 \int_{9(x^2-1)}^{4(x^2-1)} y \ud y \ud x
    = \frac{3}{20} \int_0^1 (16 - 81)(x^2-1)^2 \ud x
    \\
    = \frac{- 3 \cdot 13}{4} \int_0^1 x^4 - 2x^2 +1 \ud x % <-- Do oznaczenia mnożenia używamy makra \cdot
    \\
    = \frac{-39}{4} \bigl( 1+\tfrac 15 - \tfrac 23 \bigr)
    = \frac{-39}{4} \cdot \frac{8}{15} = -\frac{26}{5} \,. % <-- Proszę pamiętać o kropce.
\end{multline}
Zatem środkiem ciężkości $A$ jest punkt $a = (0,-26/5)$. Zauważmy, że $a$ jest
w~odległości $31/5$ od prostej $Q = \{ (x,1) : x \in \mathbf{R} \}$. Stosując
regułę Guldina wyznaczamy objętość bryły $B$ powstałej przez obrót $A$ wokół
prostej $Q$.
\begin{displaymath}
    \Leb{3}(B) = 2 \pi \cdot \frac{31}{5} \cdot \frac{20}{3} = \frac{248}{3} \pi \,.
\end{displaymath}

\end{document}


% Local Variables:
% coding: utf-8
% eval: (ispell-change-dictionary "polish")
% mode: latex
% eval: (flyspell-mode)
% End:
 
