Wieszanie obrazka na dwóch gwoździach

Jak powiesić obrazek na dwóch gwoździach tak, by spadł po wyciągnięciu któregokolwiek z gwoździ?

Obrazek jest umieszczony w drewnianej ramce. U góry ramki mamy przyczepioną nitkę, a w ścianie są wbite dwa gwoździe. Zadanie polega na zaczepieniu nitki o te dwa gwoździe w taki sposób, by obrazek spadł po wyjęciu jednego z gowździ.

Rozwiązanie obrazkowe.

Można wykonać prosty model i próbować do skutku. Podejrzewam, że rozwiązanie problemu nie zajmie więcej niż godzinę.

Rozwiązanie matematyka.

Matematyk stara się wyłuskać kluczowe własności obiektów w waszym zagadnieniu. Po pierwsze to, że tam jest jakiś obrazek nie ma najmniejszego znaczenia - nitka i gwoździe są kluczowymi obiektami. Po drugie, gwoździe nie muszą być gwoździami ale mogą być grubymi kołkami. Po trzecie nitka może przylegać bardzo dokładnie do tych kołków, więc nie potrzeba zużywać całej przestrzeni wokół - wystarczy małe otoczenie naszych kołków.

Ile jest sposobów nawinięcia nitki na takie dwa kołki i w jaki sposób je klasyfikować?
Które nawinięcia odpowiadają sytuacji, w której obrazek spada?

Na początek rozpatrzymy prostszą sytuację - mianowicie, gdy jest tylko jeden kołek.

Pierwsza sytuacja pokazuje, że można nawinąć nitkę tylko trochę, a potem się wycofać. Łatwo widać, że jest to równoważne z tym, żeby w ogóle nie nawijać. Na drugim obrazku nitka jest nawinięta raz, a na trzecim, dwa razy. Łatwo klasyfikować nawinięcia nitki liczbami naturalnymi: każdemu nawinięciu przyporządkowujemy liczbę okrążeń, które nitka robi wokół kołka. Wygodnie będzie też rozróżniać okrążenia zgodnie z ruchem wskazówek zegara (w prawo), od tych w przeciwnym kierunku (w lewo). Pierwszy obrazek pokazuje, że jeśli najpierw zrobię okrążenie w prawo, a potem w lewo, a następnie zwiążę końce nitki, to dostanę nawinięcie zerowe, czyli takie, które w ogóle się nie nawija na kołek. Dostajemy zatem wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między nawinięciami nitki i liczbami całkowitymi (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). Ponadto, jeśli mam długą nitkę i najpierw zrobię k okrążeń w prawo, a potem l okrążeń w lewo, to dostanę nawinięcie odpowiadające liczbie l - k. Matematyk powie, że nawinięcia nitki mają strukturę grupy.

Co się zmienia jeśli mamy dwa kołki? Powiedzmy, że zaczynami nawijać z miejsca dokładnie pomiędzy tymi dwoma kołkami. Nazwijmy lewy kołek $A$, a prawy $B$. Na początku musimy zdecydować na który kołek nawijamy nitkę i w którą stronę. Po nawinięciu znów decydujemy na który kołek i w którą stronę i powtarzamy tę czynność tyle razy ile chcemy, a na koniec związujemy końce nitki. Procedurę tę można zapisać symbolicznie za pomocą liter $A$ i $B$. Umawiamy się, że nawinięcia w prawo oznaczamy symbolami $A$ i $B$, a nawinięcia w lewo symbolami $A^{-1}$ i $B^{-1}$. Z obserwacji dokonanych w sytuacji pojedyńczego kołka wynika jasno, że prawdziwe są zwykłe zasady skracania $A{A}^{-1}=A^{-1}A=1$ oraz $B{B}^{-1}=B^{-1}B=1$. Oznacza to, że jeśli nawiniemy nitkę na jeden z kołków, a potem nawiniemy na ten sam kołek w drugą stronę, to tak jakbyśmy w ogóle nie nawijali.

Wiemy już jak klasyfikować nawinięcia nitki na dwa kołki. Każdemu nawinięciu przyporządkowujemy ciąg symboli $A$, $B$, $A^{-1}$ oraz $B^{-1}$. Nitka nie jest zaczepiona jeśli nasz ciąg symboli redukuje się do symbolu $1$ po zastosowaniu standardowych redukcji.

Pozostaje pytanie, co się dzieje z naszym nawinięciem jeśli usuniemy jeden kołek (lub wyjmiemy jeden gwóźdź)? To proste - wystarczy wymazać wszystkie symbole odpowiadające danemu kołkowi.

Możemy teraz sformułować nasz problem w języku, który właśnie opracowaliśmy. Zadanie polega na znalezeniu takiego ciągu symboli $A$, $B$, $A^{-1}$ oraz $B^{-1}$, by po usunięciu jednej z liter, pozostały ciąg zredukował się do symbolu $1$.

To proste! Wystarczy wziąć $AB{A}^{-1}{B}^{-1}$.

Łatwo też znaleźć rozwiązanie dla uogólnionego problemu z większą liczbą gwoździ.

Rozwiązanie matematyka po kursie algebry i topologii.

Mamy płaszczyznę z usuniętymi dwoma kołami, odpowiadającymi gwoździom. Wyjęcie gwoźdza powoduje zamalowanie jednego koła. Mamy zatem dwa przekształcenia $f$ i $g$ płaszczyzny z usuniętymi dwoma kołami $X$, do płaszczyzny z usuniętym jednym kołem $Y$. Chcemy znaleźć taki element grupy podstawowej $X$, który leży zarówno w jądrze $f$ jak i $g$. Ponieważ grupa podstawowa $X$ jest nieabelowa na dwóch generatorach, a grupa podstawowa $Y$ jest abelowa, wystarczy wziąć komutator.