Geometryczny kobordyzm
i grupy formalne
(English version below)
(przedmiot monograficzny na Wydziale MIM
UW, wtorki 10-14, w klasie i/lub on-line; początek 5. X 2021)
„Quillen’s
work on formal group laws and complex cobordism opened a new era in algebraic
topology.”
D. Ravenel 2012
Krótkie streszczenie
Przedmiot jest poświęcony zaskakującej relacji między dwoma, zdawałoby się skrajnie odległymi problemami matematycznymi – klasyfikacji gładkich, zwartych rozmaitości oraz teorii grup formalnych (czyli szeregów formalnych spełniających pewne warunki), wprowadzonej w kontekście analitycznym, a następnie rozważanej w kontekście algebry i geometrii algebraicznej. Ten związek, zauważony przez D. Quillena w końcu lat sześćdziesiątych XX w. jest podstawą konstrukcji teorii kohomologii odgrywających ogromną rolę we współczesnej teorii homotopii.
Prezentacja
pdf na Wykładach o Wykładach 2021-06-14
Nagrania WoW Strona
w USOSWeb
Sylabus
1. Problem klasyfikacji rozmaitości. Relacja bordyzmu rozmaitości zwartych. Pierścień klas bordyzmu.
2. ABC topologii różniczkowej - transwersalność.
3. ABC wiązek wektorowych.
4. Rozszerzenie konstrukcji pierścienia (ko-)borydzmu do multyplikatywnej teorii (ko-)homologii wyposażonej w „Umkehr Homomorphismus” - podejście geometryczne. Uniwersalność teorii kobordyzmu.
5. Związki z teorią homotopii - konstrukcja Pontriagina-Thoma.
6. Orientowalność wiązek w uogólnionych teoriach kohomologii. Zasada rozszczepiania.
7. Klasy charakterystyczne Stiefela-Whitneya i Cherna w uogólnionych teoriach kohmologii. Grupa formalna teorii kohomologii.
8. ABC teorii grup formalnych z algebraicznego punktu widzenia. Logarytm grupy formalnej. Uniwersalna grupa formalna.
9. Operacje kohomologiczne w teorii kobordyzmu.
10. Identyfikacja pierścienia (ko-)bordyzmu jako pierścienia uniwersalnej grupy formalnej.
11. Generatory pierścienia (ko-)bordyzmu.
Bibliografia/ References
· Adams, J. F..
Stable homotopy and generalised homology. University
of Chicago Press, Chicago, Ill., 1974. Chicago Lectures in Mathematics.
· Adams, J.F. Quillen’s
work on complex cobordism.
· Bojanowska, A, Jackowski S. Geometric
bordism and cobordism Notes.
· Carrick, Ch. An Elementary Proof of Quillen’s Theorem for Complex Cobordism. Bachelor
Thesis. Harvard University 2016
· tom
Dieck, T Kobordismentheorie. Lecture Notes in Math. No. 178. Springer-Verlag
· Harpaz, Y.
Complex
Cobordism and Formal Group Laws.
(2012)
· Hazewinkel, M.. Formal groups and applications, Pure and
Applied Mathematics 78, Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich
Publishers], New York, 1978.
· Miller, H. Notes on Cobordism.
MIT 1994 - 2001.
· Morava, J. Complex
cobordism and algebraic topology. 2007
· Quillen, D.
Elementary
proofs of some results of cobordism using Steenrod
operations. Adv. in Math. 7 (1971) 29-56
· Quillen, D. On
the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory. Bull.
Amer. Math. Soc. 75:1293–1298, 1969.
· Ravenel, D. Quillen's work on formal group laws and complex cobordism theory. Journal of K-Theory , Volume 11 , Issue 3: The Legacy of Daniel Quillen , June 2013 , pp. 493 – 506. Slide show
· Wikipedia. Cobordism.
· Wikipedia Formal group law
Geometric
cobordism and formal groups
(a graduate course at the University of Warsaw, Tuesdays
10:15 -14:00 CET, in class or on-line, starts October 5, 2021)
„Quillen’s
work on formal group laws and complex cobordism opened a new era in algebraic
topology.”
D. Ravenel 2012
Short
summary
The course
is devoted to a very surprising connection between classification up to bordism
relation of smooth compact manifolds and the theory of formal groups (i.e.
formal power series satisfying certain conditions), introduced in analytical
context and developed in the context of algebra and algebraic geometry. This relations, discovered by J. Boardman and
D. Quillen at the end of the sixties of the twentieth
century, is the
fundamental tool in construction of some cohomology theories which play the
central role in the contemporary homotopy theory. According to D. Ravenel „Quillen’s work on
formal group laws and complex cobordism opened a new era in algebraic
topology.”
Syllabus
1. Classification of manifolds. Bordism
of compact manifolds. Bordism ring.
2. Prerequisites on differential
topology. Transversality.
3. Prerequisites on vector bundles.
4. Extension of the (co-)bordism ring to
a multiplicative (co-)homology theory
equipped with a transfer homomorphism – geometric approach. Universal
properties of the cobordism theory.
5. Relation to homotopy theory - the Pontryagin-Thom construction.
6. Oriented vector bundles in
generalized cohomology theories. Splitting principle.
7. The Stiefel-Whitney
and Chern characteristic classes in he generalized
cohomology theories. Formal group of a cohomology theory.
8. Introduction to algebraic theory of
formal groups. Logarithm of a formal group. Universal formal group.
9. Cohomological operations in
cobordism theory.
10. Cobordism ring as the ring of the
universal formal group.
11. Manifolds that generate the (co-)bordism ring.