Intuicyjnie pojęcie funkcji jest jasne: jest przyporządkowanie elementowi x zbioru X elementu f(x) zbioru Y (często jest to wzór). Zatem para uporządkowana (x,f(x)) jest elementem iloczynu kartezjańskiego X x Y. Dlatego nie jest niczym nadzwyczajnym, że w naszym dążeniu do ścisłości będziemy traktować funkcję jako zbiór. Najpierw definicja:
Def. Powiemy, że relacja f c X x Y jest prawostronnie jednoznaczna, jeśli dla pewnych x, y1, y2 mamy, że x f y1 i x f y2 to wynika stąd, że y1 = y2.
Jesteśmy gotowi do określenia funkcji. Niech będą dane zbiory X i Y (np.X=Y= zbiór liczb rzeczywistych). Funkcją f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y, piszemy f: X --> Y, nazywamy dowolną relację prawostronnie jednoznaczną, taką, że dla każdego x istnieje y w Y takie, że x f y, piszemy wtedy y = f(x).
Przykłady rysunkowe.Niech będzie dana funkcja f: X --> Y i podzbiór A dziedziny X. Obrazem zbioru A (piszemy f(A)) jest zbiór {y w Y: istnieje x, że y=f(x)}. Przeciwobrazem zbioru B c Y jest zbiór f^{-1}(B) określony następująco:
f^{-1}(B) = { x w X: f(x) jest w B}.
Wykażemy, żef^{-1}(B_1)/\ f^{-1}(B_2) = f^{-1}(B_1/\B_2)
f^{-1}(B_1)\/ f^{-1}(B_2) = f^{-1}(B_1\/B_2)
Sprawdzimy tylko pierwszą równość. Niech x należy do lewej strony, jest to równoważne stwierdzeniu, że x należy do f^{-1}(B_1) i f^{-1}(B_2). Jest to z kolei równoważne, temu że f(x) jest w B_1 i f(x) jest w B_2, tzn. x należy do prawej strony.
Obraz zachowuje się tylko podobnie, mianowicie
f(A1) \/ f(A2) = f(A1\/A2)
f(A1 /\ A2 ) c f(A1) /\ f(A2)
Udowodnimy tylko drugą inkluzję. Jeśli y należy do lewej strony to znaczy, że istnieje x w X należące do A1 /\ A2 , takie że f(x)=y. To znaczy, że x jest w A1 i jest w A2 i f(x)=y. Zatem, y należy do f(A1) i y jest w f(A2).
Uwaga! nie można zastąpić inkluzji równością! Zadanie: wymyślić przykład
Więcej definicji:
Def. powiemy, że funkcja f : X---> Y jest różnowartościowa (jest bijekcją), jeśli z warunku f(x1) = f(x2) wynika, że x1 = x2.
Def. powiemy, że funkcja f : X---> Y jest "na" (jest suriekcją), jeśli dla każdego y w Y istnieje x w X taki, że f(x) = y.
Def. powiemy, że f : X---> Y, jest wzajemnie jednoznaczna (jest bijekcją), jeśli f jest różnowartościowa i "na"
Przykłady: R - zbiór liczb naturalnych, f : R---> R określamy wzorem:
f(x) = x^2
f nie jest ani "na", ani różnowartościowa.
g : R---> R damy wzorem, g(x) = x^3 jest ona różnowartościowa i "na", tj. jest wzajemnie jednoznaczna;
h : R---> R określamy wzorem h(x) = x(x-1)(x-2), jest ona "na", ale nie różnowartościowa;
k : R---> R określamy wzorem k(x) = x/(1+|x|) jest różnowartościowa,
ale nie "na".
h(x) = g(f(x))
nazywamy złożeniem funkcji f i g, piszemy h = gf
Właściwości: Niech f : X---> Y, g : Y ---> Z, h: Z---> W, wtedy (f g) h = f(gh).